- (a) Se tienen dos sucesiones de números, con 2003 enteros consecutivos y una tabla de dos renglones y 2003 columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en el primer renglón y la segunda sucesión en el segundo renglón, de tal manera que la sucesión obtenida de las 2003 sumas por columna forman una nueva sucesión de 2003 enteros consecutivos.
- (b) Misma pregunta si hubiera 2004 columnas.
En ambos casos, si la respuesta es afirmativa, explique cómo se distribuirían los números, y si es negativa explicar por qué.
Veamos el caso para 2003
Veamos el caso para 2003 supomgamos que tenemos las dos series
$s_1 = u+1 , u+2 , \cdots , u+2003$
$s_2 = v+1,v+2, \cdots , v+2003$
notemos que una serie $w+1 , w+2 , \cdots , w+k$ si a cada termino le restamos lo mismo como un entero $i$ seguira siendo una serie de k enteros consecutivos: $w+1-i , w+2-i ,\cdots,w+k-i$. Entonces no importa como acomodemos los terminos de $s_1$ en el primer renglon y los de $s_2$ en el segundo renglon pues la suma de cada columna siempre tendra algo en comun, que es $v + u$ entonces a cada suma por columna le podemos restar $v+u$ y entonces consideramos:
$s'_1= 1,2,\cdots, 2003$ $s'_2=1,2,\cdots , 2003$ si podemos acomodar estas nuevas series, entonces podemos acomodar cualesquiera series de 2003 consecutivos.
Si sumamos todos lo numeros obtenemos dos veces la sumatoria desde uno hasta 2003. $(2003)2004$ y supongamos que podemos acomodar el par de series para obtener otros 2003 enteros consecutivos, y que el primer termino es $t+1$ y luego $t+2, t+3,\cdots, t+2003$ la suma de estos 2003 enteros consecutivos sera $2003t + W( 2003) $ donde$ W(i)=1+2+\cdots+i$
de aqui a que se tenga que dar la igualdad: $2003(2004) = 2003t + W(2003)$ por lo que $t=1002$ ahora si tuvieramos 2004 columnas se tendria que dar la igualdad $2004(2005) = 2004t + W(2004)$ pero un lado es divisible por 2004 y el otro no entonces para 2004 no es posible.
finalmente colocamos $s'_1$ d emanera normal empezando en la esquina superior izquierda con el uno y asu derecha el dos y asi sucesivamente hasta que el ultimo cuadrito del primer renglon tenga escrito el 2003.
$s'_2$ lo colocamos de la siguiente manera debajo de 1002, colocamos el 1, y a su derecha el dos, y asi sucesivamente hasta que debajo del 2003 este escrito el 1002, Hasta ahora la suma de cada columna empezando con 1002+1, es 1003,1005,....3005. Todos los impares de 1003 a 3005, luego continuando colocamos debajo del 1 el 1003 debajo del 2 el 1004 y asi sucesivamente hasta que debajo del 1001 este escrito el 2003. Aqui tenemos los numeros (empezando con la suma 1+1003), 1004,1006,....3004 todos lo pares desde el 1004 hasta el 3004. Y asi acomodamos $s'_1$ y $s'_2$ a manera que hicimos una serie de 2003 enteros consecutivos desde 1003 hasta 3005.
Saludos.
Germán.
Hola Germán. Estaba leyendo [1]
Hola Germán.
Estaba leyendo tu solución y me parece correcta.
Solo para resumir y entender mejor dime si en escencia tu solución es esta:
Hay algunos detallitos de estilo en la solución que creo que más bien se deben a que no quieres extenderte mucho. Por ejemplo, creo que es recomendable que cuando pones "si podemos acomodar estas nuevas series, entonces podemos acomodar cualesquiera series de 2003 consecutivos.", justificaras un poco por qué. Sé que la justificación viene de lo que dices arriba, pero siento que hacen falta un par de líneas para enlazar lo que dijiste arriba con esa afirmación.
En general me parece muy bien, más porque ya estás resolviendo problemas de alto nivel, en este caso un Ibero. Ya estoy preparando la nueva tarea con dificultad especial para ti, prometo que esta vez sí será retadora, jajaja.
Saludos,
Orlando.
Hola Orlando, si
Hola Orlando, si practicamente ese es el resumen de mi solucion. Acabo de ver la tarea recien saliditajaja Gracias, ah tambien revisare los detallitos en mi solucion.
Saludos.