Triangulos de area 1 en una reticula de 4x4!!!

En lo personal este problema me parecio fácil pero creativo, considero que basandose de este problema pueden elaborarse problemas de nivel avanzado, generalizando para (n,k) por ejemplo.

Para su solución es fácil darse cuenta que el triángulo debe tener de dimensiones 2x1 (de altura y base). Tomando como base de lado 2, los primeros 3 puntos superiores en la izquierda, se pueden formar 4 triángulos (pues pueden formarse los triángulos deseados con cada uno de los puntos de la segunda fila, de arriba hacia abajo) con el tercer vértice hacia abajo . Con los 3 puntos superiores de la derecha también pueden formarse 4 triángulos, de manera ánaloga. Por lo tanto tomando como base 2 de triángulos de la primera fila superior, se pueden formar 8 triángulos. De igual manera, con la segunda y teercera fila se puede hacer lo mismo (con la cuarta fila ya no se puede porque ya no hay más puntos hacia abajo). Por lo que ya llevamos (8)(3)= 24 triángulos.

Esto mismo lo podemos hacer tomando como base de lado 2,  3  puntos de la 4,3 y 2  fila (de la primera ya no porque ya no hay puntos hacia arriba) y como tercer vertice hacia arriba. Por lo que hay otros 24 triángulos.

De manera ánaloga esto lo podemos hacer de izquierda a derecha (24 triángulos) y de derecha a izquierda (otros 24 triángulos).

Por lo tanto hay (24)(4)=96 triángulos de área 1 con los 3 vértices en la retícula  

Considero estar en lo correcto, aunque sinceramente creo que me falto explicarlo mejor, porque necesitaba las figuras de los triángulos para poder explicar de mejor manera mi procedimiento. Espero entiendan mi procedimiento (y  pido disculpas por la mala redacción).

Si es cierto me faltarón contar los triángulos de base 1 y altura 2, que sería otros 16 triángulos que cumplen lo pedido. Lo que incrementaría a 96+16=112 triángulos.

PERDON!!! Me equivoque otra vez son 48 triángulos más (como el rojo), dando un total de 96+48=144 triángulos de área 1.

Bueno en realidad son 32 como el triángulo rojo, pero con este triángulo me di cuenta de que existen otros 16 triángulos, tomando como base la misma del triángulo rojo, de 1cm, y como tercer vértice el punto inferior de la derecha, formando un triángulo de base 1 y altura 2. (16+32=48)

Supongamos ahora un problema así: En una retícula de nxn formada por cuadritos de lado igual a 1; se  quiere dibujar un triángulo de área 1, de manera que sus vértices sean puntos de la retícula ¿Cuántas formas hay de hacer esto?

Nota:Trate de resolverlo similar al problema de arriba

Solución:Me doy cuenta que el triángulo debe de tener de dimensiones (2,1) de (altura, base), en algún orden. Tomando como base de longitud 2, los 3 primeros puntos superiores de la izquierda, y como tercer vértice del triángulo alguno de los puntos de la segunda fila, se pueden formar n triángulos. En esa misma fila superior (la primera) se pueden formar (n-2) bases de longitud 2, lo que formaría n(n-2) = n2 - 2n triángulos. Este mismo proceso lo podemos hacer en las siguientes filas, en todas con exepción de la última (pues ya no habría vértices hacía abajo). Con esto se formarían (n2 - 2n) (n-1) = n3 - 3n2 + 2n triángulos.   Este proceso lo hice con dirección hacia abajo, pero también se puede hacer hacia arriba, a la derecha y a la izquierda, con lo que resultan       (n3-3n2+2n)(4) = 4n3-12n2+8n triángulos. Ya contamos todos los triángulos de base 2 y altura 1, ahora contemos los de base 1 y altura 2  Para esto me doy cuenta que algunos ya los contamos, los triángulos rectángulos ya los ontamos todos, solo contaremos los que faltan, que son los triángulos de base 1 y altura 2, pero que no son rectángulos (como el triángulo rojo del problema de arriba).               Tomando como base de longitud 1, los 2 primeros puntos de la esquina superior izquierda se pueden formar (n-2) triángulos. Por consecuencia, al formar bases de longitud 1 en una misma fila forman (n-2)(n-1) = n2-3n+2 triángulos. Este proceso se puede hacer en todas las filas con exepción a las dos últimas (porque se necesitarían dos de altura hacía abajo). Así se forman (n2-3n+2)(n-2) = n3-5n2+8n-4. Este proceso se puede hacer en las 4 direcciones formando:   (n3-5n2+8n-4)(4) = 4n3-20n2+32n-16 triángulos.

Dando un total de:

(4n3-20n2+32n-16) + (4n3-12n2+8n) = 8n3-32n2+40n-16 triángulos.

Nota: No puedo poner las potencias en este formato, por lo que n2 significa n al cuadrado, n3 n al cubo, 8n3 significa 8n al cubo, y ási sucesivamente.

Un problema: En una retícula de nxn formada por cuadritos de lado igual a 1; se quiere dibujar un triángulo de área K, de manera que sus vértices sean puntos de la retícula ¿Cuántas formas hay de hacer esto?

En su solución me parece fácil contar todos los triangulos con dimensiones (2k,1) (altura, base), en algún orden. Pero me parece que sería un poco dificil contar esos triángulos de área k con diferentes dimensiones, me parece que también dependería de si K es par o impar, no lo he intentado, un día libre trataré de resolver un problema así o uno similar.

Saludos