Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos con $M, N$ y $P$ los puntos medios de $AC, DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestre que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/print/problemas/geometr/configuraci-n-semicircunferencia#comment-2712
[2] https://www.matetam.com/glosario/definicion/eje-radical-dos-circunferencias
[3] https://www.matetam.com/glosario/definicion/potencia-un-punto-respecto-a-una-circunferencia
[4] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[5] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[6] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-iberoamericana-matematicas/xviii-oim-2003
No entendi muy bien lo de los
No entendi muy bien lo de los semi planos, pero ¿Es una cuadrilatero ciclico con AB diametro y AD una de sus diagonales? bueno si es asi,
Sean $X$ e $Y$ los pies de perpendicularidad bajada desde $A$ y $B$ hacia $CD$ respectivamente. Notese las siguientes semejanzas de triangulos: $$1) XCA \equiv DBA , 2) YDB\equiv CAB$$ de alli a que
$1) \frac{XC}{DB}=\frac{CA}{BA}$ y tambien de $2) \frac{YD}{DB}=\frac{CA}{BA} \longrightarrow (3) YD=XC$. Ahora:
La mediatriz de $CP$ con $W$ punto medio intersecta a $AD$ en $H$. La mediatriz de $PD$ con $Z$ punto medio intersecta a $CB$ en $J$. Por el resultado en (3) y aplicando tales se llega a que $(4) \frac{DH}{AH}=\frac{CJ}{JB}$.
Ahora tengamos en cuenta los siguientes puntos donde $\cap$ denota interseccion:
$ WH \cap MP = H' $ y $ZJ \cap PN = J'$. Por teorema de linea media y el resultado en (4) se tendra que $(5) \frac{PH'}{H'M} = \frac{PJ'}{J'N}$.Sea $R$ el centro de la circunferencia. Los siguientes hechos son bastante conocidos:
De estos dos ultimos puntos y del resultado en (5) se obtiene que $\frac{RO_A}{O_AM}=\frac{RO_B}{O_BN}$. Y el reciproco de tales es suficiente para decir que $O_BO_A$ y $MN$ son paralelas.
Esta solucion, ocupo denotar muchos nuevos puntos asi que cualquier duda, preguntenme pues tal vez alla algunos errores de dedo.
Saludos
Germán.
Hola Germán, ya tengo la
Hola Germán, ya tengo la figura. Así podré orientarme en tus argumentos...
Te saluda
Gracias, por la figura,si es
Gracias, por la figura,si es la misma que yo tengo.
Le mando un saludo! Profe Muñoz.
Germán Puga
Hola Germán, Creo haber [1]
Hola Germán,
Creo haber entendido todos los pasos. Únicamente no logré entender la justificación de este paso. ¿Podrías detallarla más?
Saludos
Ah claro, Jesus estaba
Ah claro, Jesus estaba intentando ver ¿por que pasaba eso? pero rapidamente demostre que es mentira (lo que echa abajo mi demostracion), suponemos que $CH'$ intersecta a $AD$ en $T$ esto si es mas obvio $\frac{MH'}{H'P} = \frac{AT}{TD}$ lo que supondria que $\frac{AH}{HD}={AT}{TD}$ pero solo existe un punto que divide a un segmento en una razon dada. Por lo que es mentira ese hecho, Jesus. Vere si se puede componer.
Saludos.
iPero si se compone
iPero si se compone solito!
Solo se necesita ver la igualdad $CH'=H'P$ pues $WH'$ es mediatriz. De alli:
$\frac{AT}{TC}= \frac{MH'}{CH'} = \frac{MH'}{H'P} = \frac{AT}{TD}$ por lo que $TC=TD$ de alli sea $S$ la interseccion de $DJ'$ con $BC$ de la misma manera se puede demostrar que $DS=SC$.
Por lo que hay que demostrar que $\frac{DT}{TA}=\frac{CS}{SB}$ pero como $T y S$ estan sobre la mediatriz de $CD$ se pueden reusar los mismos argumentos de la primera parte de la demostracion para demostrar eso.
Saludos.
Ya lo chequé y ya con eso
Ya lo chequé y ya con eso queda completa tu demostración. Me parece una demostración muy bien trabajada.
Para que conozcas otras soluciones te comparto uns bosquejo de la mía:
Notación: Llama $\mathcal{C}_A$ y $\mathcal{C}_B$ a las circunferencias circunscrita de ACP y BDP, respectivamente. Llama T al puntode intersección de AC y DB.
Saludos y muchas felicidades.
Gracias Jesús, lo
Gracias Jesús, lo revisare.
Saludos
Germán.