Sean $ABC$ un triángulo, y $D$ y $E$ puntos sobre $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $AB$ es paralelo a $DE$. Sea $P$ el pie de la altura trazada desde $A$ al segmento $BC$. Si el ángulo $ACB$ es de 20 grados y $AB = 2DE$, encuentre el valor del ángulo $PDC$.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/print/problemas/geometr/cu-l-mediana-forma-dos-is-sceles#comment-2449
[2] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[3] https://www.matetam.com/categoria/nivel/basico
[4] https://www.matetam.com/problemas/categoria/onmaps/vi-onmas-2006
Los triángulos ABC y DEC son
Los triángulos ABC y DEC son semejantes con razón de 2:
AB / DE = AC / DC = BC / EC = 2
Entonces AC = 2DC y DC = AD, por consecuencia PD es mediana a la hipotenusa AC, por lo cual PD = DC.
Luego los ángulos DPC = DCP = 20.
DPC + DCP = 20 + 20 = 40
En el TRIÁNGULO PDC el ángulo PDC = 180-40 = 140
Solucion 1: Nos centramos en [1]
Solucion 1:
Nos centramos en el triangulo $APC$ que es rectangulo en $P$, sabemos que $D$ es punto medio de $AC$ por $ACB\sim ECD$ se deduce que $PD$ es radio de la circunferencia circunscrita de $APC$ por lo tanto $PDC$ es isósceles entonces $\angle PDC=180-40=140$
Solucion 2:
Trazamos la altura del triangulo $EDC$ que corta a $BC$ en $K$, tenemos que $APC\sim DKC$ entonces $PC/KC=2 \therefore PC=2KC \rightarrow PK=KC$ entonces esto cumple la base de un trianulo isosceles, por lo tanto, $PDC$ es isosceles y $\angle PDC=180-40=140$