Encontrar ángulo dada una bisectriz

Enviado por jmd el 5 de Mayo de 2012 - 18:21.

En un rectángulo $ABCD$, $F$ es el punto medio del lado $CD$ y $E$ es un punto del lado $BC$ tal que $AF$ es bisectriz del ángulo $EAD$. Si el ángulo $AEF$ mide 68 grados ¿cuál es la medida del ángulo $BAE$?

No quisiera arruinarles [1]

Enviado por jmd el 6 de Mayo de 2012 - 12:38.

No quisiera arruinarles la fiesta a los adolescentes aficionados a las matemáticas de concurso, así que solamente dejo la idea general de una forma de resolver este problema ingeniosamente elemental.

(La pongo porque me servirá para archivarla y tenerla disponible --antes de que se me pierda el borrador... posiblemente la necesite para algún entrenamiento...)

La bisectriz es el lugar de los puntos equidistantes a los lados del ángulo (y también eje de simetría de éstos). Este significado sugiere buscar más información con el trazo auxiliar $FG$ --la distancia de $F$ a $AE$.

Con ese trazo debería ser relativamente fácil ver la congruencia de los triángulos $FGE$ y $FCE$ --por el criterio LLL gracias al dato de punto medio y el hecho de que ambos son triángulos rectángulos. El resto es pan comido.

Los saluda

Yo me di cuenta de la misma

Enviado por cuauhtemoc el 6 de Mayo de 2012 - 13:40.

Yo me di cuenta de la misma congruencia, pero antes de eso traze una circunferencia de centro F y radio FC que intersectó al segmento AE en un punto G, de donde concluimos que AE es tangente a la circunferencia y el ángulo EFG es de 22°. Luego los triángulos AFG y EGF son semejantes de donde los ángulos EFG , EAF y FAD son iguales a 22°, cada uno.

Por lo tanto el ángulo EAD es igual a 22x2= 44°

Y el ángulo BAE mide 90-44 = 46°