Área de un equilátero

Enviado por Fernando Mtz. G. el 14 de Marzo de 2009 - 20:10.

Sea ABC un triangulo equilátero y R el radio de la circunferencia que lo circunscribe, demuestre que el area del triangulo es igual a: $$ 3R^2\sqrt{3}/4 $$

Sea O el centro de la

Enviado por Javiercasanova el 14 de Mayo de 2009 - 19:52.

Sea O el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo XYZ, sea P la intersección de YZ con la prolongación de XO, sea R el radio de la circunferencia, y 2A el lado del triángulo.

Como XYZ es un triángulo equilátero XP es una mediana y como las medianas se cortan a razón 2:1 OP = R/2 lo que implica que XP = 3R/2.

Luego tenemos por Pitágoras en el triángulo XPZ :

4A²= A² + 9R²/4

3A² = 9R²/4

A² = 3 R²/4

A = R(3)^1/2/2

2 A = R(3)^1/2

Por tanto el área del triángulo es : (R(3)^1/2) (3R/2) / 2 = 3R²(3)^1/2 /4 L.Q.Q.D

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