Bisectriz en la mitad de un cuadrado

Enviado por jmd el 11 de Mayo de 2014 - 07:18.

Las diagonales de un cuadrado ABCD se cortan en E, la bisectriz del ángulo DBC corta a la diagonal AC en P y al lado CD en Q. Demostrar que DQ mide el doble que PE.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Busca un trazo auxiliar que permita conectar los dos segmentos involucrados.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

19 May 2014

Solución:

Por el teorema de la bisectriz (aplicada dos veces) se tiene:

CQ/QD=BC/BD y PC/PE=2BC/BD.

Pero entonces CQ/QD=PC/2PE. Bastará entonces demostrar que CQ=CP.

Para ello denotemos con x a los ángulos de 22.5 grados formados por la bisectriz y focalicemos el triángulo PQC.

Por ser el ángulo Q uno de los de BCQ, es complementario de x. Por ser el ángulo P uno de los de BPE, es también complementario de x. De aquí que los ángulos en la base PQ del triángulo PQC son iguales. Luego, el triángulo es isósceles. De ahí el resultado.

MANDO MI PROPUESTA DE

Enviado por Marco Antonio M... el 19 de Mayo de 2014 - 09:24.

MANDO MI PROPUESTA DE SOLUCION AL PROBLEMA 3

Hola Marco, tu demostración

Enviado por jesus el 19 de Mayo de 2014 - 09:43.

Hola Marco, tu demostración está correcta, buen manejo de los teoremas de la bisectriz [1] y del incentro [2].

Únicamente te faltó incluir en tu demostración la justificación de por qué el triángulo PCQ es isóceles.

Gracias por tu solución

Enviado por jmd el 19 de Mayo de 2014 - 20:34.

Gracias por tu solución Marco.

Y pues te comento que es la primera vez que tengo noticia del teorema del incentro. Algo que me sorprende, por dos cosas: una porque MaTeTaM está en el "negocio" de la geometría de concurso, y la otra porque es un teorema elemental.

Y, bueno, también por eso te doy las gracias (por darlo a conocer a los usuarios de MaTeTaM).

Por otro lado, tu solución se parece a la oficial (la que se repartió a los miembros del jurado el día del examen). Esa solución utiliza dos veces el teorema de la bisectriz: una en el triángulo BCE y la otra en el BCD.

Ello conduce a reducir el problema a demostrar que el triángulo QPC es isósceles. (Algo que, como te comentó Jesús, está ausente en tu demostración.)

Durante la sesión de establecimiento de los criterios de evaluación los miembros del jurado buscamos una solución más elemental pero no se encontró en ese momento. No fue sino hasta que revisamos los exámenes que surgieron dos soluciones más sugeridas por la de uno de los concursantes.

La del concursante consiste en prolongar BQ y trazar la perpendicular a BD por D (digamos que ésta corte en D' a BQ). Con ello ya la solución del problema se hace evidente (o casi) con Tales y el teorema de la línea media. Curiosamente, lo que le faltó al autor de esta solución fue demostrar que DD'=DQ (y, como tú, solamente lo mencionó).

La otra solución elemental se generó por el jurado tomando la anterior como inspiración: consiste en trazar la perpendicular a BC por E (digamos que cruce BQ en E'). De nuevo, con este trazo la solución se hace evidente --aunque también hay que demostrar isósceles.

Concluyo diciendo algo que he repetido muchas veces aquí en MaTeTaM: con más teoría la creatividad se convierte en un lujo y en tema de conversación post-concurso.

Te saluda