Circuncentro y ortocentro: una propiedad métrica

Enviado por jmd el 6 de Mayo de 2011 - 13:50.

Sean $H$ el ortocentro y $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$. Si $M$ es el punto medio del lado $BC$, entonces $AH=2MO$. Demostrarlo.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Usa semejanza y el teorema de la línea media en los triángulos adecuados.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

6 May 2011

Solución:

Sea $N$ ($N'$) el punto medio del lado $AC$ ($AB$). Entonces:

el segmento $MN$ ($MN'$) es línea media y, por tanto, es paralelo al lado $AB$ ($AC$);
el segmento $ON$ ($ON'$) es paralelo a $BH$ ($CH$), por ser ambos perpendiculares al mismo lado;
el segmento $OM$ es paralelo a $AH$, por ser ambos perpendiculares a $BC$.

Por tanto, los triángulos $MNO$ y $ABH$ ($MN'O$ y $ACH$) son semejantes de razón 1 a 2 (por ser $MN$ línea media). De ahí el resultado.

Ver también:

Ver también:

Ortocentro [2]