La clave está en la figura

Enviado por jmd el 16 de Mayo de 2011 - 06:27.

En el triángulo $ABC$, rectángulo en $C$, la bisectriz de $A$ corta a $BC$ en $P$ y la bisectriz de $B$ corta a $CA$ en $Q$. Sean $M$ y $N$ las proyecciones de $P$ y $Q$, respectivamente, sobre el lado $AB$ . Calcular la medida del ángulo $MCN$.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Haz una buena figura y obsérvala con detenimiento.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

16 May 2011

Solución:

La información derivada de los datos está a la vista en la figura (aunque podría ser difícil de ver): $CP=PM$ y $CQ=QN$ (por la definición de bisectriz como lugar geométrico).

Por tanto, los isósceles $CNQ$ y $CMP$ tienen ángulos en la base iguales, digamos $x$ y $y$.

Si ahora trazamos la altura de $C$ (la componente creativa de la solución), se puede ver que que esa altura es la imagen de $BC$ en el espejo de $CM$ y que el ángulo buscado es $x+y$ --pues la altura de $C$, $PM$ y $QN$ son paralelas.

Pero $2x+2y=90$. Se concluye que el ángulo buscado es de 45 grados.

Ver también:

Triángulo isósceles [1]

Ver también:

Reflexión (simetría) axial o especular [2]