Ejercicio con ortocentro

Enviado por jmd el 14 de Diciembre de 2010 - 21:16.

En la figura, $H$ es la intersección de las alturas, y la altura $AD$ del triángulo $ABC$ se ha prolongado hasta cortar el circuncírculo en $P$.

Demostrar:

(a) El triángulo $HBC$ es isósceles
(b) La recta $BC$ es mediatriz de $HP$
(c) Los puntos $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Focaliza el arco $PC$ y descubre los dos ángulos que lo interceptan. Por complementariedad descubre cuáles dos triángulos son semejantes. Después traza la altura de $B$ respecto alado $CA$ y, de nuevo por complementariedad, descubre otros dos semejantes. El resto es pan comido...

Solución

Por:

jmd

Fecha:

9 Dic 2013

Solución:

Trazando el segmento $BP$ se puede notar que los ángulos $PAC$ y $PBC$ tienen el mismo arco interceptado y, por tanto, son iguales. Por complementariedad, se puede ver que los triángulos $ACD$ y $APD$ son semejantes.

Si ahora trazamos la altura de $B$ respecto al lado $CA$ y llamamos $B'$ a su pie, se puede ver que los triángulos $BB'C$ y $ADC$ son semejantes (pues son rectángulos y comparten el ángulo $A$).

Se concluye que $BC$ es bisectriz del ángulo $PBH$ y que el triángulo $PBH$ es isósceles. Por tanto $BC$ es también mediatriz del segmento $HP$ y, de aquí, que $H$ y $P$ son simétricos respecto al lado $BC$.

Geometría [1]
Básico [2]