Isósceles en 2 circunferencias de mismo radio

Enviado por Samuel Elias el 24 de Octubre de 2022 - 07:51.

Sean α y β dos circunferencias con el mismo radio. Dichas circunferencias se intersectan en puntos P y Q. Sea X un punto en α. La recta QX intersecta a β en un punto Z, de manera que Z queda entre X y Q. Demuestra que PX=PZ.

Sugerencia

Sugerencia:

Demuestra que el arco PQ tanto de α como de β es igual.
Recuerda propiedades muy básicas de los triángulos.

Solución

Solución:

Iniciaremos demostrando que los arcos PQ de α y β son iguales. Sea $O_1$ y $O_2$ los centros de α y β respectivamente si trazamos $O_1P$, $O_2P$, $O_1Q$ y $O_2Q$ tendremos el cuadrilatero $O_1PO_2Q$, como los 4 segmentos son radios, y recordemos que los radios de α y β son iguales, entonces $PO_1QO_2$ es un rombo, $\Rightarrow$ <$PO_2Q$ = <$PO_1Q$ $\Rightarrow$ los arcos PQ efectivamente son iguales. Ahora, sabemos que <ZPQ + <ZQP = <XZP por ser el externo de <PZQ, pero <PZQ + <ZQP = $\frac{arc(PZ)+arc(ZQ)}{2}$ = $\frac{arc(PQ)}{2}$ = <PXZ, haciendo al ΔPXZ isósceles con PX=PZ.