ONMAS 2008 Nivel 1, Problema 6

Enviado por jesus el 9 de Junio de 2008 - 00:52.

En el triángulo ABC se traza la bisectriz interior CD. Se sabe que el centro del círculo inscrito en el triángulo BCD coincide con el centro del círculo circunscrito del triángulo ABC. Calcular los ángulos del triángulo ABC.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

13 Jun 2008

Solución:

[1]

Sea O el incentro de BCD y circuncentro de ABC. Por ser O circuncentro de ABC se tiene que OA=OB=OC. Como es también incentro del BCD, es el punto de concurrencia de las bisectrices del triángulo BCD. Como BO es bisectriz de ambos triángulos, y llamando x a la mitad del ángulo en B, tenemos tres isósceles: ABO con ángulos de medida x en la base AB; BCO, con ángulos de medida x en la base BC; y CAO con ángulos de medida 3x en la base CA. (El lector haría bien es trazar una figura esquemática –una dificultad adicional de este problema es que la figura correcta es casi imposible de dibujar… precisamente porque se trata de un triángulo muy particular…)

Los ángulos del triángulo ABC son entonces 2x en B, 4x en A, y 4x en C. Por suma de ángulos internos se tiene la ecuación 10x=180, de donde x=18 grados. Los ángulos de ABC son entonces <A=72, <B=36, <C=72.