Sea ABCD un cuadrado de centro O. Sean P, Q, R y S puntos en DA, AB, BC y CD, repectivamente, tales que P,O y R son colineales; y Q, O y S también lo son (colineales), y de manera que PR es perpendicular a QS. Demostrar que el cuadrilátero PQRS es un cuadrado.
Sugerencia
Sugerencia:
Traza las diagonales del cuadrilatero ABCD
Solución
Solución:
Por dato PR y QS son perpendiculares. De aquí que los cuadriláteros formados en las esquinas del cuadrado por los dos segmentos PR y QS son cíclicos. Por ejemplo, PDSO. Pero el ángulo PDO es de 45 (porque ABCD es cuadrado y DO es la mitad de una diagonal). De aquí que el ángulo PSO es también de 45.
De manera similar se demuestra que los restantes ángulos formados por los lados del cuadrilátero PQRS y sus diagonales PR y QS son de 45. Esto demuestra que este cuadrilátero es rectángulo.
Para ver que es un cuadrado basta con darnos cuenta de que sus diagonales y lados forman 4 triángulos isósceles rectángulos congruentes (por ejemplo, PSO). Y esto porque son semejantes (los tres ángulos correspondientemente iguales) y cada par de consecutivos comparten uno de los lados iguales (por ejemplo, PSO comparte el lado PO con el PQO y el lado SO con el RSO). De aquí que sus bases son también correspondientemente iguales. Es decir, PQ=QR=RS=SP. En otras palabras PQRS es un rectángulo con sus lados iguales. Un cuadrado. Lo que se quería.
Hola chicas y chicos: Chequen [3]
Hola chicas y chicos:
Chequen este problema que puso Fernando. Puede resolverse con cuadriláteros cíclicos --el tema que se abordó en el entrenamiento de viernes y sábado.
Los saluda
PD: es posible que se pueda resolver solamente con congruencia de triángulos... inténtenlo y comparen...