P4. Razones de semejanza estatales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 13:21.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC=90$. Sea $U$ un punto cualquiera sobre $AC$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre $AB$ y $BC$ de tal forma que $\angle EUD=90$. Se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $D$ y el punto de intersección se llama $F$. Asímismo, se traza un segmento perpendicular a $AC$ desde $E$, y el punto de intersección es $G$. Demuestra que:

$$\frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$

Sugerencia

Sugerencia:

Encuentra dos pares de triángulos semejantes y construye sus razones de semejanza. Después iguala y concluye.

Solución

Solución:

Sea $\alpha=\angle BAC$, entonces $\angle ACB=90-\alpha$, y también $\angle FDA=90-\alpha$ y $\angle GEC=\alpha$. Entonces por $AA, \ \triangle AFD \sim \triangle EGC \Rightarrow \frac{AF}{EG}=\frac{DF}{CG} \iff AF \cdot CG=DF \cdot EG$

Ahora, sea $\beta=\angle FDU \Rightarrow \angle FUD=90-\beta \Rightarrow \angle EUG=\beta \Rightarrow \angle UEG=90-\beta $. Por $AA$, $ \triangle FDU \sim \triangle GUE \rightarrow \frac{DF}{GU}=\frac{FU}{EG} \iff DF \cdot EG = FU \cdot GU$

Con esto ya terminamos.

$$AF\cdot CG=DF\cdot EG=FU\cdot GU \iff \frac{AF}{FU}=\frac{GU}{CG}$$