Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circuncírculo y $O$ su circuncentro. Sea $F$ el punto en $AC$ tal que $\angle COF = \angle ACB$, donde $F$ y $B$ están de lados opuestos respecto a $CO$. La recta $FO$ corta a $BC$ en $G$. La paralela a $BC$ por $A$ interseca a $\Gamma$ de nuevo en $M$. Las rectas $MG$ y $CO$ se cortan en $K$. Demuestra que los circuncírculos de los triángulos $BGK$ y $AOK$ concurren en $AB$.
¡Muy fácil! Investiguemos al [1]
¡Muy fácil!
Investiguemos al punto $F$. El cuadrilátero $ABCM$ es un trapecio isoscéles, por lo que
$$\angle COF= \angle ACB = 1/2\angle AOB = 1/2 \angle MOC.$$
Esto implica que $OF$ es bisectriz en el triángulo isoscéles $OMC$ y por tanto $OF$ es mediatriz de $CM$. Así que $CG=GM$ i.e el triángulo $CGM$ es isoscéles.
Ahora descubramos lo que nos piden demostrar. Sea $R$ un punto en $AB$ de manera que $GBKR$ sea ciclico. Basta demostrar que $\angle AOK=\angle BRK$ pero $\angle BRK=\angle KBG$ por lo que intentaremos ver que $\angle KGB=\angle KOA$.
Finalmente, hagamos las cuentas. Si $\angle ABC = \beta$ entonces $\angle BCM=\beta$ por el trapecio isoscéles y $\angle GMC =\beta$ por que $GMC$ es isoscéles. Por tanto $\angle MGC = 180-2\beta$. Por otro lado $\angle AOC = 2\beta$ lo que implica que $\angle AOK = 180-2\beta$, como queriamos.
Pongo aquí la imagen por que ya no recuerdo como colocar imagenes.
https://drive.google.com/file/d/1qx2vw3u6hbFM2QokfW_2vDdzCFeJb7VE/view?u... [2]
Saludos,
german.