P5. Dos circunferencias, una perpendicular.

Enviado por Samuel Elias el 19 de Octubre de 2024 - 14:12.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $\omega$ su circuncírculo. Sea $\Gamma$ un círculo con centro $A$ de forma que corta al arco $AB$ que no contiene a $C$ de $\omega$ en un punto $D$ y al arco $AC$ que no contiene a $B$ de $\omega$ en un punto $E$. Sea $K$ la intersección de $BE$ con $CD$ de tal forma que $K$ esté sobre $\Gamma$. Demuestra que $AK$ es perpendicular a $BC$.

Sugerencia

Sugerencia:

Como $A$ es centro de $\Gamma$, entonces tendremos varios triángulos isósceles. Observa que hay ángulos que abren arcos de circunferencias distintas. Utiliza que una bisectriz también es altura de un triángulo isósceles.

Demuestra que $K$ es el ortocentro de $ABC$

Solución

Solución:

Vamos a usar la propiedad de que 1 ángulo central es igual al doble de su ángulo inscrito que abra el mismo arco.

$\angle DAK=2\angle DEK=$ y $\angle DEK=\angle DAB$, y como $AD=AK$, entonces $AB$ es todotriz de $\angle DAK$.

$\angle KAE=2\angle KDE$ y $\angle KDE=\angle CAE$, entonces $AC$ es todotriz de $\angle EAK$.

Con esto concluimos que $K$ es el ortocentro del triángulo $ABC$.