Si $P_1,P_2,\ldots,P_{19}$ son diecinueve puntos del plano con coordenadas enteras tales que cada tres de ellos son no colineales, demuestre que hay tres con la propiedad de que su baricentro (punto de intersección de las medianas de un triángulo), también tiene coordenadas enteras.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/glosario/definicion/mediana
[2] https://www.matetam.com/glosario/teorema/f-rmula-icoordenadas-del-baricentro-un-tri-nguloi
[3] https://www.matetam.com/problemas/geometria
[4] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[5] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-mexicana-matematicas/iv-omm-1990
Para este problema voy a usar
Para este problema voy a usar el siguiente teorema(mañana les pongo la demostracion, que ahorita ya es noche jeje).
El baricentro de un triangulo con coordenadas $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$
Esta dado por las coordenadas $$\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$$
Con este teorema ya sale bien facil el problema.
Vemos las coordenadas $x$ de los 19 puntos mod 3, el principio de las casillas nos dice que existen $7$ puntos con coordenadas $x$ con el mismo residuo mod 3.
Ahora nos fijamos en la coordenada $y$ de esos $7$ puntos, pero el principio de las casillas nos dice que $3$ de esos puntos tienen el mismo residuo mod 3 en su coordenada $y$
Entonces garantizamos la existencia de 3 puntos con $x_1\equiv x_2 \equiv x_3 \pmod{3},y_1\equiv y_2 \equiv y_3 \pmod{3}$
Para esos puntos se tiene que $$\left( \frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3} \right)$$ es entero.
Muy buena solución Josué. Y
Muy buena solución Josué. Y muy bien explicado.
Si aun lo deseas, puedes escribir tu demostración del baricentro de un triángulo en: Fórmula: coordenadas del baricentro de un triángulo. [2]