P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?

Enviado por jmd el 11 de Julio de 2010 - 12:28.

Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Cacería de ángulos hasta ver un cíclico...

Solución

Por:

jmd

Solución:

Consideraciones previas

La condición $BC^2=AC\cdot{QC}$ (necesaria y suficiente para $PJ//QC$) se puede leer en clave de semejanza ($BC/AC=QC/BC$), y sugiere la condición intermedia "$BCA$ semejante a $QCB$" --pero, además, sugiere que ambos triángulos son isósceles.

Por otro lado, aquella misma condición se traduce a "$CB$ es tangente en $B$ al circuncírculo del triángulo $AQB$". Todo esto sugiere un plan de cacería de ángulos, primero con los datos y después con cada una de las condiciones (paralelismo y potencia de C) para llegar a la otra.

Cacería con los datos

Una vez que se descubre el cíclico, la cacería puede continuar con 6. $\angle{CPJ}=x$.

Y aquí puede ser que el cognizador logre otro descubrimiento: $PJ//QC$ si y sólo si el triángulo $BCQ$ es isósceles.

Pero el triángulo $BCQ$ es isósceles si y sólo si $\angle{QBC}=x$ (mismo arco). Pero esto sucede si y sólo si los triángulos $ABC$ y $BQC$ son semejantes, es decir, si y sólo si $BC/AC=QC/BC$, como se quería.

El problema se resuelve con

Enviado por jmd el 6 de Septiembre de 2010 - 16:13.

El problema se resuelve con cacería de ángulos. Fácil ¿no es cierto? Pues no. Porque, la cacería de ángulos requiere saber qué ángulos quieres descubrir y para ello se requiere un plan que oriente la cacería.

Además, la sutileza de descubrir ángulos semi-inscritos es casi imposible para el novicio --es una habilidad que tiene que ser practicada. La otra sutileza del problema es el cuadrilátero cíclico $PQCJ$ que se descubre durante la cacería... (porque el criterio de cíclico no es el común de "ángulos opuestos suplementarios").

Una vez descubriendo el cíclico, la cacería puede continuar con el descubrimiento de un ángulo adicional. Pero un ángulo más es muy poca caza para un cíclico... Sin embargo, el cíclico logra una caza mayor: una cadena de condiciones necesarias y suficientes para el paralelismo de $PJ$ y $QC$.

Una dificultad adicional que puede bloquear todo el proceso de solución para un novicio es la construcción de la figura...

Los saluda