Probar isósceles

Llamemos R al radio de la semicircunferencia y r al de la circunferencia inscrita.

 Inferencia inicial (más allá de lo evidente): El radio $OK=R$ pasa por el centro O' (porque la tangente en K es común a ambos círculos). Ahora sí:

Potencia de O respecto al inscrito: $R(R-2r)=OJ^2$

Potencia de C respecto a la semicircunferencia: $DC^2=AC\cdot CB$

Pero también, por la semejanza ADB~ACD: $AC\cdot 2R=AD^2$.

Para simplificar la notación, llamemos $x$ a AC, $y$ a CB y $z$ a CD. Entonces, reescribiendo lo anterior, se tiene:

$OJ^2=R(R-2r)$, $z^2=xy$, $x(x+y)=AD^2$

Vamos a demostrar que el cuadrado de $AJ=R+OJ$ es igual a $x(x+y)$:

$AJ=R+\sqrt{R(R-2r)}$

Para simplificar los cálculos eliminamos la raíz:

$(AJ-R)^2=R(R-2r)$
$AJ^2-2RAJ=-2Rr$
$AJ^2=(x+y)(AJ-r)=(x+y)x.$ Como se quería.

Solución alternativa (de JRV)

Lo primero que hay que ver es que trazando el radio O'L, se logra un triángulo de Tales: el AOK con la paralela LO a la base AO.