Las raices primitivas del polinomio $p(x) = x^n - R^n$, con $ R$ el un real positivo fijo, son
$$\alpha_k = R[\cos (\frac{k\pi}{n}) + i \textrm{sen}(\frac{k\pi}{n})]$$
para $k=0, 1, 2, \ldots, n-1$.
Es inmediato, a partir de la fórmula de De Moivre, que estos complejos son raices del polinomio $p(x)$. Y como, $p(x)$ es de grado $ n$, estas $ n$ raices son todas las raices del polinomio. Además, estas $ n$ raices forman los $ n$ vértices de un polígono regular de $ n$ lados inscrito en un círculo de radio $ R$.
Por otro lado, $$ p(x) = x^n - R^n = (x - R)(x^{n-1} + x^{n-2}R + x^{n-3}R^2 + \cdots + xR^{n-2}+ R^{n-1} ) $$
y por el teorema fundamental de la aritméticam, las $ n$ raices $\alpha_0, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$ ayudan a descomponer a $p(x)$ como sigue: $$p(x) = (x- \alpha_0)(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1})$$
En consecuencia, se tiene que $$(x- \alpha_0)(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1}) = (x-R)(x^{n-1} + x^{n-2}R + \cdots + R^{n-1})$$
Pero, de la definición de $\alpha_k$ se observa que $\alpha_0 = R$, por lo tanto, podemos cancelar el factor $(x -R)$ de ambos lados y llegamos a la conclusión de que:
$$(x-\alpha_1) \cdots (x-\alpha_{n-1}) = x^{n-1} + x^{n-2}R + \cdots + xR^{n-2}+ R^{n-1})$$
Esta identidad es cierta para todo valor de $ x$, por lo que, si sustituimos con $x = R$ se obtiene la siguiente identidad:
$$(R-\alpha_1) \cdots (R-\alpha_{n-1}) = nR^{n-1} \ldots (1)$$
Conclusión
Identifiquemos los vértices $A_1, A_2, \ldots, A_n$ con los números complejos $\alpha_0=R, \alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}$ respectivamente. Entonces, la magnitud de $|A_1A_k|$ corresponde con la norma del número complejo $\alpha_0 - \alpha_k$ para todo valor de $k$.
Y bueno, si recordamos las siguientes dos propiedades básica sobre normas de números complejos se concluye de manera evidente el resultado.
- La norma separa multiplicaciones:
$$|\alpha \cdot \beta| = |\alpha| \cdot |\beta|$$
- La norma de un número real es igual a su valor absoluto.
En esta conclusión se está usando que, si $A(a,b)$ y $B(c,d)$ son dos puntos del plano, entonces, la disntancia de $ A$ a $ B$ es la norma $|\alpha - \beta|$ donde $\alpha$ y $\beta$ son los dos números complejos $\alpha =a +ib $ y $\beta = c +id$.
Algebra geometria ahha que
Algebra geometria ahha que rayos!!!!!!hahah mmm me supongo que enfermo es mayor que avanzado, lo intentare, se ve muy bueno, un problema de algebra disfrasado de geometria ahhahaha, saludos y gracias!!!!
Sí. Enfermo es mayor que
Sí. Enfermo es mayor que avanzado incluso le cambié la dificultad al problema de triángulos semejantes [2] a enfermo. Pero eso de ser mayor lo único que significa es que requiere conocimientos matemáticos superiores a los exigidos en la Olimpiada Nacional de Matemáticas. Lo cual no impide que un problema básico sea tan difícil como un enfermo.
Saludos
Aaaaa ya veo, entonces yo
Aaaaa ya veo, entonces yo considero que el problema que propuse y que resolviste con conjugados armonicos, y que yo hice con ciclicos tambien se consideraria enfermo, este me parece un muy buen problema, lo primero que se me ocurrio fue poner los puntos $A_1, A_2,...,A_n$ en orden ciclico ya que eso no altera el resultado, de ahi cada arco determinado por dos vertices consecutivos abarca un angulo inscrito de $\frac{180}{n}$ Por otro lado por la ley de los senos tenemos que:
$$2R=\frac{A_1 A_2}{ \textrm{sen}(\frac{180}{n})}= \frac{A_1 A_3}{\textrm{sen}(\frac{2(180)}{n})}= \dots = \frac{A_1 A_{n-1}}{\textrm{sen}(\frac{(n-2)(180)}{n})}=\frac{A_1 A_n}{\textrm{sen}(\frac{(n-1)(180)}{n})}$$
de ahi es claro que;
$$|A_1A_2|\cdot |A_1A_3| \cdots |A_1A_{n-1}| \cdot |A_1A_n| = \\ (2R)^{n-1}sen(\frac{180}{n})sen(\frac{2(180)}{n}) \cdots sen(\frac{180}{n})sen(\frac{(n-1)(180)}{n})$$
pero de ahi no tengo mucha idea de que hacer, bueno buscare otras ideas, a ver si encuentro algo, despues desarrollare esta a ver que tal, sigo buscando, saludos
Te puse una sugerencia para
Te puse una sugerencia para que la cheques.
Saludos