Segmentos iguales y colinealidad

Enviado por Fernando Mtz. G. el 9 de Agosto de 2009 - 15:01.

Sea ABC un triangulo, M el punto medio de CA, P el punto donde la bisectriz desde C intersecta a AB; E y Q son los puntos donde una ceviana desde A intersecta a la bisectriz y al lado BC, respectivamnete (Q no esta en la prolongacion de BC). Demuestra que los segmentos PQ y CQ son iguales, si y solo si B, E y M son colineales.

Sugerencia

Sugerencia:

Utilizar el teorema de ceva

Solución

Solución:

Prolónguese $BE$ hasta que intersecte a $AC$ en $ N $ Puesto que $CP$ es bisectriz, $PQ = QC \Leftrightarrow \angle CPQ = \angle QCP$ $ \Leftrightarrow \angle CPQ = \angle PCA$ $ \Leftrightarrow PQ \| AC $ $\Leftrightarrow \frac{AP}{PB} = \frac{QC}{BQ} $ $\Leftrightarrow (\frac{AP}{PB})(\frac{BQ}{QC}) = 1$ pero por el teorema ceva lo anterior pasa $\Leftrightarrow$ $(\frac{AP}{PB})(\frac{BQ}{QC}) = (\frac{AP}{PB})(\frac{BQ}{QC})(\frac{CN}{NA})$ $\Leftrightarrow \frac{CN}{NA} = 1$ $\Leftrightarrow N$ es punto medio (es decir N y M son el mismo punto) $\Leftrightarrow B, E y N$ están alineados.

Geometría [1]
Intermedio [2]