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Teorema de Napoleón (exterior)

Enviado por jmd el 27 de Febrero de 2009 - 10:10.

Si en un triángulo $ ABC $ se construyen triángulos equiláteros exteriores sobre sus lados, entonces los centros $X, Y, Z$ de dichos triángulos equiláteros determinan un triángulo equilátero $ XYZ $, conocido como triángulo de Napoleón exterior. (Demostrarlo.)
 

Imagen de Luis Brandon

La solucion seria como sigue,

Enviado por Luis Brandon el 16 de Abril de 2009 - 09:42.
La solucion seria como sigue, es claro que los circuncirculos de los triangulos equilateros tendran un punto en comun, sean $A',B',C'$los vertices faltantees de los triangulos equilateros donde $A'$ esta en la circunferencia de centro $Y$(tambien es claro que Y es el centro de la circunferencia circunscrita) de manera similar definimos $B' y C'$ llamemos P al punto de interseccion de las tres circunferencias. Tenemos que AP,BP y CP son los ejes radicales, ademas es facilver que XZ y XY son mediatrices de AP y BP, por consiguiente tenemos que $\angle{AXZ}=\angle{ZXP}$ y $\angle{BXY}=\angle{YXP}$ de ello conseguimos que $2\angle{ZXY}=\angle{BXA}=2\angle{BC'A}=120$ de ello tenemos que $\angle{ZXY}=60$ con un procedimiento similar(mas bien identico) definimos los otros dos angulos del triangulo de Napoleon, y el resultado es claro el triangulo es equilatero.
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