Triángulo y circunferencia circunscrita

Enviado por j_ariel el 6 de Junio de 2010 - 00:46.

Dado el triángulo $ABC$, se consideran los puntos $D$, $E$, y $F$ sobre los segmentos $BC$, $AC$, y $AB$, respectivamente. Demostrar que si los segmentos $AD$, $BE$, y $CF$ pasan por el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de radio $R$, entonces

$\displaystyle \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF} = \frac{2}{R}$.

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Usa el método de áreas [1] (después de pasar $R$ al lado izquierdo)

Solución

Por:

jmd

Fecha:

4 Jul 2011

Solución:

Bajo la hipótesis de que las cevianas pasan por el circuncentro $O$ del triángulo, la ecuación

$$ \frac{1}{AD} + \frac{1}{BE} + \frac{1}{CF}=\frac{2}{R}$$

se puede expresar como

$$ \frac{AO}{AD} + \frac{BO}{BE} + \frac{CO}{CF}=2$$

(dado que $R=AO=BO=CO$).

Para usar el método de áreas modifiquemos ligeramente la expresión del lado izquierdo (usando el hecho de que $AO=AD-OD$, etc.). Tenemos entonces que:

$$ \frac{AO}{AD} + \frac{BO}{BE} + \frac{CO}{CF}$$

$$= \frac{AD-OD}{AD} + \frac{BE-OE}{BE} + \frac{CF-OF}{CF}$$

$$=3-\frac{OD}{AD}-\frac{OE}{BE}-\frac{OF}{CF}$$

$$=3-\frac{(BCO)}{(ABC)}-\frac{(CAD)}{(ABC)}-\frac{(ABO)}{(ABC)}=3-1=2$$

Ver también:

Método de áreas (para encontrar razones) [2]

Ver también:

Circuncírculo (de un triángulo) [3]

Geometría [4]