EGMO 2012 Problema 3 - Relación funcional en los reales

Enviado por jesus el 11 de Mayo de 2012 - 21:17.

Entontrar todas las funciones $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 4x + 2yf(x+y)$$ para todo $x, y \in \mathbb{R}$.

©Traducido de la versión en ingles para Matetam.com

Sugerencia

Sugerencia:

Considera los casos $x=0$, $y=0$ e intenta demostrar las siguientes relaciones

$f(f(x)) = 4x$
$f(xf(x)) =2xf(x) $
$f(0) = 0$
$f(1) = 2$

Luego, usa la siguiente sustitución: $$y=1-x$$ Realmente no tengo un argumento claro para justificar esta sustitución, pero el hecho es que funciona.

Haciendo y=0 f(f(x)) = 4x

Enviado por siddhartha (no verificado) el 24 de Junio de 2012 - 19:02.

Haciendo y=0 f(f(x)) = 4x despues observamos que f(0)=f(4*0) = f(f(f(0))) = 4f(0) de ahi es facil ver que la unica posibilidad es f(0)=0, si hacemos x=0 y=1 nos da la funcion f( f(1) + f(0) ) = 2f(1) como f(0) = 0 y f(f(x)) = 4x es facil ver que f(1) = 2, es buena la idea de x +y = 1 pues ya sabemos el valor de F(1) sustituyendola nos da f( (1-x)f(1) + f(x) ) = 4x + 2(1-x)f(1) sustituyendo f( 2-2x + f(x) ) = 4 = f(f(1)) sacando funcion inversa 2-2x + f(x) = f(1)=2 entonces f(x) = 2x para todo x es facil ver que cumle sustituyendola arriba

Muy buena realización de la

Enviado por jesus el 24 de Junio de 2012 - 23:59.

Muy buena realización de la prueba.

Pero creo que faltó un detalle, para poder cancelar f en la relación: $$f( 2-2x + f(x) ) = f(2)$$

usaste la función inversa, la cual no existe para todas las funciones. Por lo que te hizo falta probar su existencia.

¿Quiere intentar probarlo por tu cuenta?¿Quieres que te sugiera algo?¿O tienes alguna otra duda? No dudes en contactarnos,

Saludos

Para evitar esa ambigüedad

Enviado por francisco summell (no verificado) el 26 de Marzo de 2013 - 14:58.

Para evitar esa ambigüedad que dice Jesús debes proceder así: f(yf(x+y) + f(x)) = 4x + 2yf(x+y) = 2yf(x+y) + 4x = 2[yf(x+y)]+ 2f(x) y pareando los términos tenemos que 2f(x) = 4x de donde: f(x) = 2x

Hola Francisco, Segun [1]

Enviado por jesus el 27 de Marzo de 2013 - 08:18.

Hola Francisco,

Segun entiendo tu argumento, primero transformaste la expresión hasta quedar así: $$f(yf(x+y)+f(x)) = 2[yf(x+y)]+4x$$

Y luego invocas un procedimiento (o teorema) al que llamas "pareando los términos", que interpreto es algo así: $f(a+b) = 2a + 4x$ entonces $b=4x$. Pero lamentablemente, en términos generales, esto último es falso.

Te sugiero buscar un argumento en otra dirección. En particular, te recomiendo que sigas la sugerencia que está abajo del enunciado del problema.

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Saludos y gracias por tu comentario.

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