Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}
Determinar todas las ternas de números reales que satisfacen el sistema de
ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
x + y - z &=& -1\\
x^2 - y^2 + z^2 &=& 1\\
-x^3 + y^3 + z^3 &=& -1
\end{eqnarray*}
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/problemas/algebra
[2] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[3] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-iberoamericana-matematicas/iv-oim-1989
De la tercera ecuación
De la tercera ecuación tenemos $(z-x)(z^2+xz+x^2)=-(1+y)(y^2-y+1)$ pero notemos que de la primera ecuación tenemos que $(z-x)=1+y$ entonces tendremos que $(1+y)(z^2+xz+x^2)=-(1+y)(y^2-y+1)$ lo que deriva en
$(1+y)(z^2+x^2+y^2+xz-y+1)=0$ de donde tenemos $1+y=0$ ó $(z^2+x^2+y^2+xz-y+1)=0$ .
Ahora veremos que el caso $(z^2+x^2+y^2+xz-y+1)=0$ no es posible,
para esto notemos que de $(z-x)^2=(1+y)^2$
tenemos $x^2+z^2+2xz=y^2+2y+1$ lo que es igual a $x^2+z^2-y^2-2y-1=2xz$
pero de la segunda ecuación tenemos que $x^2+z^2-y^2=1$ entonces nos queda que $-y=xz$
Por otro lado tenemos que $z^2+x^2=1+y^2$ entonces tenemos que $(z^2+x^2+y^2+xz-y+1)=0$ es igual a $(2y^2-2y+2)=0$ luego,
factorizando el $2$ queda $(y^2-y+1)=0$ pero es fácil ver que $y^2-y+1$ es mayor que cero, con lo que solo nos queda ver el caso cuando $1+y=0$ entonces reemplazando $y=-1$ en la primera ecuacion tenemos que $x=z$ y viendo con la tercera ecuación tenemos que $x=z=\frac{+}{-}1$
entonces tenemos las soluciones $(-1,-1,-1),(1,-1,1)$
Excelente manipulación
Excelente manipulación algebraica. Sobre todo, te felicito pues es común que los estudiantes sin pudor alguno cancelen $1 + y$ de la identidad $(1+y)(z^2+xz+x^2)=-(1+y)(y^2-y+1)$. Sin embargo, tu observaste que es era un posibilidad y que la otra era la más; cuando $1+ y=0$.