Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$
Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$
Enlaces:
[1] http://www.oei.es/oim/ivoim.htm
[2] http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=938
[3] http://ommcolima.ucol.mx/descargas.php
[4] https://www.matetam.com/problemas/algebra
[5] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[6] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-iberoamericana-matematicas/iv-oim-1989
Me parece que hay un detalle
Me parece que hay un detalle con este ejercicio. Una solución en enteros positivos de la ecuación $2x^{2}-3x=3y^{2}$ da lugar a una solución $(u,v) \in \mathbb{N}^{2}$ de la ecuación
$(4u-1)^{2}-6(2v)^{2}=1$...
Por otro lado, la solución fundamental de la ecuación de Pell
$X^{2}-6Y^{2}=1$
es $X=5$ y $Y=2$...
Aunque la ecuación $X^2
Aunque la ecuación $X^2 -6Y^2=1$ tiene una solución fundamental, puede tener una infinidad de soluciones (consideradas no-fundamentales). Por ejemplo, $X=49$ y $Y=20$.
Saludos
Así es, pero mi punto no es
Así es, pero mi punto no es ese. Mi punto es que por tener tal ec. solución fundamental $(5,2)$, cualquier otra solución $(x,y)$ a
$X^{2}-6Y^{2}=1$
es tal que $x\equiv 1 \pmod{4}.$ Por consiguiente, $x$ no podría ser de la forma $4u-1$. He ahí el detalle...
Ahh!! Graacias por la
Ahh!! Graacias por la aclaración. Ya entendí a qué te refieres. Es muy cierto, las soluciones positivas de $X^2- 6Y^2=1$ sólo pueden las de la forma $x_n+y_n\sqrt{6} = (5+2\sqrt{6})^n$, de donde se sigue que $x_n \equiv 1 \pmod{4}$. Entonces, seguramente este problema debe haber sido mal extraido de la fuente.
Voy a buscar la fuente y compararlo con la redacción actual. Gracias por la observación.
Saludos
Ya verifiqué con la fuente
Ya verifiqué con la fuente oficial (visita página [1]) y está el mismo error en el problema. De ahí fue nuestro error.
Pero acabo de encontrar otras dos fuentes donde aparece que la ecuación a resolver es: $2x^2 -3x +1 = 3y^2 + y$
La fuente donde encontré la información es:
Pero en el úlitmo link, dice que el problema se redacta igual que aquí, sin embargo la solución que aparece resuelve la ecuación diofantina $2a^2 -3a +1 = 3b^2 + b$.
Saludos