La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.
La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.
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Me gustó mucho resolverlo,
Me gustó mucho resolverlo, aqui va mi solución:
Primero demostrare que, si para alguna tercia de enteros positivos $x,y,z$ se cumple que $ a_x , y < z$ entonces $ a_{x+y} < z - \frac{y}{z} $ , la demostracion de esto lo hare por induccion sobre y:
BI $y=1$ se tiene que $a_{x+1} = a_x - \frac{1}{a_x} < z - \frac{1}{z}$ lo cual es cierto pues $a_x < z $
HI Para todo $k$ menor o igual a $z$ se cumple que $ a_{x+k} < z - \frac{k}{z}$
PI Y lo demostramos para $k+1$ :
$a_{k+1} = a_k - \frac{1}{a_k} < z - \frac{k+1}{z} = (z - \frac{k}{z}) - \frac{1}{z}$ Usando HI y observando que $a_{x+k} < z$ queda demostrado. De este hecho es inmediato que $a_{x+z} < z - 1$ (*)
Ahora bien como $a_2 < 50$ por (*) se tiene que $a_{2+50} < 49$ y usando (*) recursivamente se llega a que $a_{1277} = a_{2+50+49+...+1} < 1-1=0$ y acabamos.