P2. Números parciales y totales

Enviado por Samuel Elias el 14 de Septiembre de 2024 - 12:07.

Para cualquier número natural, llamemos ``números parciales'' a los números formados por sus dígitos. Por ejemplo, los números parciales de 149 son 1, 4, 9, 14, 19, 49 y 149, y los números parciales de 313 son 3, 1, 31, 33, 13 y 313. Un número natural es ``totalmente primo'' si todos sus ``números parciales'' son números primos. Encuentra todos los números ``totalmente primos''.

Sugerencia

Sugerencia:

¿Cuáles son los dígitos de todos los números totalmente primos?

Solución

Solución:

El caso trivial es que 2, 3, 5 y 7 cumplen, puesto que son números de un solo dígito y son los únicos primos de un dígito. De aquí concluimos que todos los ``totalmente primos'' contienen únicamente dígitos 2, 3, 5 y/o 7. Entonces los números de 2 dígitos que cumplen son 23, 37, 53 y 73.

No existen números totalmente primos de tres dígitos por las siguientes razones:

Ningún número puede terminar con 2 o 5, porque si no serían pares o múltiplos de 5.
No podemos usar el 2 y el 5 al mismo tiempo, de lo contrariom algún número parcial sería múltiplo de 2 o de 5.
No podemos usar 2 veces el mismo dígito, de lo contrario, habría múltiplos de 11.
Solo nos quedan de opciones alguna permutación del 237 o 537, pero $2+3+7=12$ y $5+3+7=15$, los cuales son múltiplos de 3.

Al no existir números totalmente primos de 3 dígitos, tampoco existen números totalmente primos de más de 3 dígitos, porque al menos un número parcial de 3 dígitos no es primo.

Por lo tanto, todos los números totalmente primos son: $$\{2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73\}$$