Demuestra que no existen soluciones enteras y positivas para la ecuacion $3^{m}+3 ^{n}+1=t^{2}$
Demuestra que no existen soluciones enteras y positivas para la ecuacion $3^{m}+3 ^{n}+1=t^{2}$
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Puesto que $3 \equiv -1
Puesto que $3 \equiv -1 \pmod{4}$ se sigue que
$t^{2}=3^{m}+3^{n}+1 \equiv (-1)^{m}+(-1)^{n}+1 \pmod{4}.$
Luego como el cuadrado de un entero sólo puede ser $0$ ó $1$ módulo 4, los números $m$ y $n$ no pueden ser de la misma paridad. Supongamos entonces que $m=2u$ y $n=2v+1$. Se tiene entonces que
$t^{2}=3^{m}+3^{n}+1=3^{2u}+3^{2v+1}+1=9^{u}+3\cdot 9^{v}+1 \equiv 5 \pmod{8},$
lo cual es una contradicción pues el cuadrado de un entero sólo puede ser $0$, $1$ ó $4$ en módulo 8.