Numeros enteros positivos

Enviado por cuauhtemoc el 12 de Noviembre de 2011 - 19:41.

Demuestre que sin importar que numeros enteros naturales sean $m$ y $n$, el numero $mn ( m + n ) ( m - n )$ es divisible por 3.

Sugerencia

Sugerencia:

El producto va ser divisible entre tres si y sólo si algunos de sus factores $n$, $m$, $n+m$ o $m-n$ es divisible entre tres.

Considera los posibles residuos de $m$ y $n$ al dividirse entre tres. O equivalentemente, considera los residuos módulo tres.

Solución

Por:

coquitao

Solución:

Si alguna entrada de (m,n) es divisible por 3, no hay nada que hacer. En otro caso, o ambas entradas son congruentes con 1 mód 3 o ambas son congruentes con 2 mód 3 o exactamente una es congruente con 1 mód 3 (y la otra es congruente con 2 mód 3). Si ambas son congruentes con 1 (resp. 2) mód 3 entonces 3 | (m-n). En el tercer caso, 3 | (m+n)

Si alguna entrada de (m,n) es

Enviado por coquitao el 21 de Noviembre de 2011 - 01:09.

Si alguna entrada de (m,n) es divisible por 3, hay nada que hacer. En otro caso o ambas entradas son congruentes con 1 mód 3 o ambas son congruentes con 2 mód 3 o exactamente una es congruente con 1 mód 3 (y la otra es congruente con 2 mód 3). Si ambas son congruentes con 1 (resp. 2) mód 3 entonces 3 | (m-n). En el tercer caso, 3 | (m+n). QED.

Nos fijamos en la combinacion

Enviado por Paola Ramírez (no verificado) el 5 de Marzo de 2013 - 01:35.

Nos fijamos en la combinacion que podemos hacer con modulos.Tenemos $9$ casos: $0,0--0,1--0,2 --1,1 --1,2 --2,2$. Como se están multiplicando, con que alguno sea múltiplo de tres es suficiente.Los primeros casos son triviales.En los casos $1,1$ y $2,2$ tenemos que $2-2\pmod{3}$ y $1-1\pmod{ 3}$ son $0\pmod{3}$. Nos queda el caso $1,2$ pero vemos que si $1+2\pmod{3 }$ es $0\pmod{3}$ .Por lo tanto,para cualesquiera números $m,n$, $mn(m+n)(m-n)$ es multiplo de tres

Gracias por tu comentario

Enviado por jmd el 14 de Marzo de 2013 - 22:29.

Gracias por tu comentario Paola. Lo edité en lo que respecta a latex pero revísalo por si alteré algo...

Te saluda