El número se puede expresar como $n=20109+1000x+10y$, y lo queremos múltiplo de 101. Por tanto, lo que tenemos que hacer es obligar a los dígitos $x,y$ a que hagan su contribución para lograrlo. Para ello utilizaremos la aritmética modular (la cual consiste, básicamente, en considerar solamente los residuos).
Puesto que 20109=101(109)+10 y 1000=101(9)+91, la ecuación de congruencias resultante de considerar solamente los residuos es $10+91x+10y=0(mod 101)$ o, mejor, $10-10x+10y=0(mod 101)$. De aquí que $10-10x+10y$ es múltiplo de 101. Es decir, 101 divide al producto $10(1-x+y)$. Pero 101 es coprimo con 10. Luego, 101 divide a $1-x+y$. (En términos de congruencias, esto se expresa como $1-x+y=0(mod 101)$)
Hemos llegado a reducir la ecuación de congruencias inicial a una muy simple. ¿Y ahora? Bueno ahora hay que seguir pensando y recordar que x,y son dígitos. ¿Y qué con eso? Bueno, no es difícil darse cuenta que la expresión $1-x+y$ no puede tener valores muy grandes...
Y la única posibilidad de que $1-x+y$ sea múltiplo de 101 es que sea cero. De aquí que$ x-y=1$. Es decir, las posibles parejas (x,y) de dígitos que cumplen el requerimiento del enunciado son (1,0), (2,1),...(9,8).
El lector no encontrará ninguna dificultad para comprobar que los números correspondientes a esas parejas son múltiplos de 101. Por ejemplo, la pareja (8,7) da lugar al número 28179.
