La pregunta sugiere usar aritmética módulo 1000. En esta aritmética, el problema se plantearía así: encontrar el mínimo n tal que $2007n=837(mod1000),$ es decir, $7n=837(mod1000). $
Vamos primero a buscar un $ k $ tal que $7k=1(mod1000)$ y después multiplicamos por $ k $ ambos lados de la ecuación $7n=837(mod1000),$ es decir, la ecuación modular quedaría: $7nk=837k(mod1000).$ Ahora bien, viendo el lado izquierdo como $(7k)n$ y aplicar congruencias módulo 1000, el lado izquierdo se convierte en $ n $ (pues $7k$ es equiresidual con 1, módulo 1000). Así que sólo tenemos que calcular cuánto deja $837k$ al dividir entre 1000. (Nótese que, al igual que con las ecuaciones usuales, lo que queremos es despejar la ; para ello, también como en las ecuaciones usuales, multiplicamos por el inverso de su coeficiente…)
Para encontrar el inverso dividamos 1000 entre 7: $1000/7 = 142 +6/7.$ Entonces $1001=143(7).$ Es decir $k=143$ es el inverso (de 7, módulo 1000) que buscábamos. Ahora bien, en la ecuación $7n(143)=837(143)(mod1000)$ los dos lados dejan el mismo residuo al dividir entre 1000 (son números equiresiduales). Pero el lado izquierdo es equiresidual con n, es decir, la ecuación modular se convierte en $n=837(143)(mod 1000).$ Entonces es equiresidual con $837(143)=119691$ al dividir entre 1000. Pero entonces también es equiresidual con 691 al dividir entre 1000, y 691 es el equiresidual más pequeño posible, módulo 1000. Por lo tanto, la respuesta es $n=691$.
Otro método
Para encontrar el mínimo n tal que $7n=837(mod1000$), debemos buscar el primer múltiplo de 7 en la sucesión 837, 1837,2837, etc. Justificación: la ecuación de congruencias equivale a decir “7n termina en 837”. Haciendo los cálculos necesarios, el primero de esos números es 4837 , y se obtiene el resultado dividiendo entre 7.
Nota: el segundo método es claramente ateórico; porque los números que son de la forma $2007n$, y sus últimos tres dígitos son 837, se pueden modelar como $1000k +837 = 2007n = 1000(2n) + 7n, o 7n=1000r+837$; es decir, buscamos un $ n $ tal que $7n$ sea de la forma $1000r+837$, y de ahí la conclusión de buscar el primer número múltiplo de 7 en la sucesión $1000r+837$ con $r=0,1,2,...$
