Diofantina en dos variables

Enviado por jmd el 24 de Mayo de 2009 - 17:56.

Encontrar todas las parejas $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación diofantina $x^3+y^3=4(x^2y+xy^2)+1.$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Factoriza y saca conclusiones usando divisibilidad.

Solución

Por:

jmd

Fecha:

24 May 2009

Solución:

La ecuación se puede formular de manera equivalente (después de factorizar) como $(x+y)(x^2+xy+y^2)=4xy(x+y)+1$. De aquí que $x+y$ divide a 1. Pero entonces $x+y=\pm1$. Si $x+y=1$ entonces, eliminando $ y $ en la ecuación se obtiene $7x(1-x)=0$ (se deja al lector la tarea de realizar las operaciones de simplificación). De aquí que, si $x+y=1$, las soluciones son (1,0), (0,1).

Si x+y=-1, se tendría la ecuación --después de sustituir y simplificar-- $5x^2+5x+2=0$, la cual no tiene solución entera (se deja al lector demostrar esto).

En resumen, la respuesta es: las soluciones son $(0,1), (1,0)$.

Ver también:

Ecuación diofantina (o diofántica) [1]

Ver también:

Divisibilidad [2]

La ecuación es equivalente a

Enviado por coquitao el 8 de Julio de 2010 - 01:50.

La ecuación es equivalente a $(x+y)^{3}-7xy(x+y)=1.$ Al factorizar el lado izquierdo llegas a que $x+y = \pm 1$. De ahí ya es fácil obtener los dos pares $(x,y)$ que son solución de la ec. original.

Números [3]
Intermedio [4]