Si $m, n$ son enteros positivos que cumplen la ecuación $m^n+m^{n+1}+m^{n+2}=39$ encuentra sus valores (todos los posibles).
Factoriza y analiza las posibilidades.
La ecuación se factoriza como $m^n[1+m+m^2]=39=3(13)$. Por tanto $m^n$ es factor de 39. De aquí que tiene que ser 1, 3, 13, o 39, Pero $1+m+m^2$ no puede ser 1 y $m^n$ es 1 sólo si $n=0$. Por lo tanto el 1 se descarta. Si uno de los factores es 3, puede ser que $m=3, n=1$, en cuyo caso $1+m+m^2=13$. Es decir, $m=3, n=1$ es una solución. (Y la posibilidad $1+m+m^2=3$ implica $m=1$, ya la ecuación no se cumpliría.)
Sólo falta demostrar que es la única solución posible. Pero eso es fácil de comprobar en vista de que las posibilidades de 13 y 39 como uno de los factores son las mismas ya consideradas (el otro factor tiene que ser 3 o 1, respectivamente.)
Nota: el principiante haría bien en asegurarse (cubriendo a detalle los casos restantes) de que $m=3, n=1$ es la única solución.
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