Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
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2¨x = y¨2 -1 = (y+1)(y-1), y
2¨x = y¨2 -1 = (y+1)(y-1), y como el lado izq. de la igualdad es potencia de 2, entonces (y+1)(y-1) tambien lo es, pero las potencias de dos se factorizan como producto de potencias de 2, y los factores de la derecha tienen de diferencia 2, entonces buscamos 2 potencias de 2 cuya diferencia sea 2, estos son 2 y 4, veamos que las potencias de 2 son sucesiones geometricas de razon 2, por lo tanto entre mas crezca la potencia izq, mayor sera la diferencia entre los factoress de la derecha.
de donde concluimos que x=y=3 es la unica solucion
Gracias por contribuir con tu
Gracias por contribuir con tu solución. Yo la veo muy bien, sólo creo que la última parte sale sobrando, donde dices:
Por lo demás, yo digo que está bien. Entiendo que quisiste explicar que 2 y 4 son los únicas dos potencias de 2 que su diferencia es 2. Si es así, entonces me faltó entender quiénes son las potencias izquierda y derecha.
Saludos y gracias nuevamente