Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.
Sean $a,m$ enteros positivos y primos entre sí, y $o$ el exponente entero positivo más pequeño que cumple $a^o\equiv 1\pmod m$. Demostrar que si $a^u$ es equiresidual con el 1 (mod m) entonces $u$ es múltiplo de $o$.
Enlaces:
[1] https://www.matetam.com/glosario/definicion/orden-un-entero-modulo-m
[2] https://www.matetam.com/problemas/numeros
[3] https://www.matetam.com/categoria/nivel/intermedio
Falta un 1 en el lado derecho
Falta un 1 en el lado derecho de la congruencia que aparece en la primer oración de la entrada. Una vez aclarado eso la prueba sería como sigue: por el algoritmo de la división se tiene que $u = \mathbf{o} \cdot q + r$ para algún natural $q$ y algún natural $r$ que satisface $0 \leq r < \mathbf{o}$. Así, si $\mathbf{o}$ no dividiera a $u$ se tendría que $r \in (0,\mathbf{o})$ es tal que
$1 \equiv a^{u} = a^{\mathbf{o} \cdot q + r} \equiv a^{r} \mod m $
lo que contradice la minimalidad de $\mathbf{o}.$ De lo anterior se tiene que $r$ debe ser igual a $0$ y la prueba termina.