Monterrey 97

Enviado por vmp el 7 de Enero de 2008 - 17:44.

Como se sabe, uno de los 6 problemas del concurso nacional de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas es trivial –por lo menos para quienes han tenido un buen entrenamiento. He aquí el enunciado del primer problema del concurso nacional de 1997.

Encuentra todos los números primos positivos p tales que 8p^4- 3003 también sea un primo positivo.

Sugerencia

Por:

vmp

Solución

Por:

vmp

Solución:

Discusión intuitiva.

La potencia cuarta de p y el 8 como factor sugiere considerar un análisis mod 5. Se ve que q = 3(1)-3 = 0 (mod 5) si p no es 5 (dado que p lo queremos primo). Pero en ese caso q=5 (si es que es primo) o bien la hipótesis de que p distinto de 5 es incorrecta.

Solución –reconstrucción de la discusión intuitiva

El único primo p que puede dar un primo en la expresión q=8p^4-3003 es p=5. Porque si p fuese distinto de 5 entonces q=0(mod 5) y, como q debe ser primo, no queda otra posibilidad más que q=5. Pero esto último no es posible: 5=8p^4-3003 implica que p^4=376 que no es posible ya que 376 no tiene raiz cuadrada exacta (mucho menos raiz cuarta).

Sólo faltaría comprobar que si p=5, q realmente es un primo: q=8(625)-3003=5000-3003=1997. OK

Números [1]