Múltiplo de 1001

El número grande es igual a $10^{201}+1$ y $1001 = 10^{3}+1$. El resultado es consecuencia ahora de la fórmula de factorización que indica que $x+y$ divide a $x^{n}+y^{n}$ siempre que $n$ es impar. Q. E. D.

¡Elemental! Pero no para el novicio...

Es la solución algebraica que nadie intentó en el concurso (Ver las tres estrategias básicas de los que sí resolvieron ese problema en mi post Si tienes la teoría. [3]..)

Aprovecho la oportunidad para elaborar sobre la regla que mencionas Coquitao (y las gracias te sean dadas por tu colaboración):

La regla que menciona Coquitao es  (o se puede ver como) resultado de la suma de la serie geométrica: $1+r+r^2+\ldots+r^n=(1-r^{n+1})/(1-r)$  --la cual espero que sí la sigan enseñando en la secundaria... pero en todo caso es muy fácil de demostrar sumando a la Gauss...

Si en esa fórmula hacemos el cambio de variable $r=-z$ debería ser claro que en el lado izquierdo los signos se alternan y la suma es $(1+z^{n+1})/(1+z)$ --$n+1$ tiene que ser par para que el menos se convierta en más en la suma, de ahí la condición que menciona Coquitao...

Si ahora hacemos que $z$ sea $x^3$ y $n=66$ la factorización se sigue...

Desarrollar los detalles se deja como ejercicio para el lector...

Los saluda

El módulo 1001=10^3+1 es congruente de forma alterna con un cuadrado y con un cubo de 2 . Con 4 y con 8.

Siguiendo el patrón  +4, +12, +16, +24, +28, +36,+40, +48, etc

Aplicado al exponente 3 se obtienen las congruencias: 7, 19, 35, 59, 87, 123, 163, 201, etc

Luego 10^201 + 1 es congruente con 10^3+1