P1 OMM 1997. Primo función de un primo

Solucion

Tomamos a $8p^4-30003=q$ donde q es un primo  y analizamos esta igualdad en modulo 10 entonces

$8p^4-3003 \equiv -2p^4-3 \equiv q \pmod{10}$.......................(1)

ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF

$p^4 \equiv 1 \pmod{5}$.      

$p^4 \equiv 1 \pmod{2}$.      

de aqui que

$p^4 \equiv 1 \pmod{10}$

sustituyendo esto en (1) tenemos que

$-2-3 \equiv 5 \equiv q \pmod{10}$ 

entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=$\root {4} \of {\frac{3003+5}{8}}$ no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos  p=2 o p=5

Ahora si p=2

$8*2^4-30003=-2875$ que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo

Ahora si p=5

$8*5^4-30003=1997$ que es un numero primo

Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5