(Solución de Orlando Ochoa Castillo.)
Una de las cosas que se acostumbra hacer normalmente en este tipo de problemas es acotar, al inicio, algunas de las variables. Una primera, y algo primitiva, cota sería decir: $r$ es un primo menor que $2004$, ya que $25pq$ tiene que ser mayor que $25$. Sin embargo, esto no nos dice mucho, y observamos que podemos acotar mejor.
Como $p$ < $q$, si $p = 11$, tendríamos que $q$, es al menos el siguiente primo, es decir, $13$ y $r$ el siguiente, es decir, el $17$, obteniendo la ecuación: $25\cdot 11\cdot 13 +17 = 3592$ > $2004$ , por lo cual, $p$ < $11$.
Si $p = 7$, el caso cuya primera ecuación $25pq+ r =2004$ sea la menor es, si $q = 11$ y $r = 13$, así $25\cdot 7\cdot 11+ 13= 1938$ <$2004$ , así que nuestro máximo para $p$ será $7$.
Notemos que $r$ no puede ser $2$, ya que un existen dos primos, $p, q$, menores que $r = 2$. Por lo tanto, $r + 25pq$, como debe ser igual a $2004$, debe ser par y como $r$ es impar, por fuerza $25pq$ debe ser impar, lo que evita que tanto $p$ como $q$ sean el primo $2$. $2004$ es múltiplo de $3$, por lo que, si $p = 3$, que es otro de los casos que tenemos por checar, $25pq$ también sería un múltiplo de $3$, y como la suma de múltiplos de un número es un múltiplo del mismo número, entonces $r= 2004 -25pq$ sería un múltiplo de $3$ y por lo tanto no sería un primo, quedando así también ésta opción descartada.
Solo nos queda checar que pasa con $p = 5$ y $p = 7$. Sea $p = 5$, entonces, de igual forma que como acotamos $p$, nos damos cuenta que $q$ es tal que $5$<$q$<$ 17$ . Sea $q = 7$, despejando $r= 2004 -25pq$ tenemos que $r= 1129 $, que es primo, falta ver si se cumple que $pqr+ 1$ es un cuadrado.
$pqr+ 1= 5 \cdot7\cdot 1129 +1= (-4)(- 2)(- 5)+ 1= 6$ $mod(9)$, como además es $pqr+ 1= 5\cdot 7 \cdot1129 +1 =(-1) (1) (1) +1= 0$ $mod(3)$, vemos que el número es múltiplo de $3$, pero no de $9$, por lo cual no es cuadrado.
Si $q = 11$, $r= 2004 -25pq \Rightarrow r = 629 17 \cdot 37$ , que no es primo, lo cual descarta esta opción, así, la única opción que nos queda para $p = 5$ es $q = 13$. Sea $q = 13$, $r= 2004 -25pq \Rightarrow r = 379$ que es un número primo, sin embargo, analizando la segunda ecuación $pqr+ 1 =5 \cdot 13\cdot 379 +1 =(-1) (1) (1) + 1 = 0$ $(mod 3)$ y por otra parte $pqr + 1= 5 \cdot 13 \cdot 379 + 1 = (-4) (4) (1) + 1 = 15 = 3$ $(mod 9)$, como es múltiplo de $3$, pero no de $9$, entonces no es un cuadrado perfecto.
Por último, nos queda $p = 7$. Si $q = 13$, $r$ tendría que ser al menos $17$, así $25\cdot 7\cdot 13 + 17= 2292$ > $2004$ , entonces, $7$ < $q$ < $13$. La única opción, como $q$ es primo, es $q = 11$. Siendo así $r= 2004 -25pq \Rightarrow r= 79$ , que es primo, por último, falta checar que la segunda ecuación es un cuadrado perfecto. $pqr + 1 =7 \cdot 11\cdot 79 + 1= 6084 =782^2$.
Como agotamos las opciones para $p$, ya no tenemos más posibles soluciones. Por lo tanto, la única solución al sistema de ecuaciones es: $p= 7,q= 11, r= 79$.
Tengo una solución
Tengo una solución diferente.
Tenemos que $$25pq+r=2004$$ y que $$pqr+1=x^2$$
Entonces podemos poner $pqr$ como $$pqr=(x+1)(x-1)$$
Como $p,q,r$ son primos, tenemos que uno de $(x+1)$ o $(x-1)$ esta formado por algunos de los factores $p,q,r$ y el otro por los que falten.
Si alguno tiene a los tres factores tenemos que como $pqr>1$ entonces $pqr=x+1$ y $x-1=1$. Por lo tanto $pqr=3$ y no se puede.
Entonces alguno tiene exactamente dos de los factores primos. Si uno tiene $pr$ y el otro $q$, como $pr>q$ tenemos que $pr=x+1$ y $q=x-1$ por lo tanto $pr=q+2$ pero $r \geq q+2$ entonces $$pr \geq pq+2p > q+2$$ Por lo que no se puede este caso. Mismo argumento si uno tiene a $qr$ y el otro a $p$.
Por lo tanto tenemos dos casos
Caso $pq=x+1,r=x-1$, entonces $pq=r+2$ lo sustituimos en la otra ecuación y tenemos que.
$$25(r+2)+r=2004 \rightarrow 26r=1954$$ Pero $1954/26$ no es entero
Caso $pq=x-1,r=x+1$, entonces $pq=r-2$
$$25(r-2)+r=2004 \rightarrow 26r=2054$$ Entonces tenemos que $r=79$ que es primo, luego $pq=79-2=77=7*11$ por lo que $p=7,q=11$ es la única posibilidad. Entonces la única terna $(p,q,r)$ que cumple es $(7,11,79)$.
Muy buena solución
Muy buena solución iwakura_isa [1].Tu solución, a diferencia de la de Orlando, se enfocó primero en estudiar la condición $pqr+1=x^2$; Orlando estudió primero la condición $25pq+r=2004$.
En mi opinión personal, me parece que tu forma de resolver resultó más corta. Pero me gusta ver que es posible llegar a la solución sin importar a cuál de las identidades decidas dedicar el mayor esfuerzo.
Esta es la solución correcta
Esta es la solución correcta !
Enhorabuena!
Esta es la solución correcta
Esta es la solución correcta !
Enhorabuena!
Aún más simple:
Buscamos tres primos de la forma 4k-1. El cuadrado buscado es par.
Como tenemos que complentar 2004 con un múltiplo de 25, el mayor de ellos acaba en 9.
El múltiplo de 25 más cercano a 2004 es 2000, 25*80. Los dos menores giran alrededor de 9. 7 y 11 son 4k-1.
7*11*79 + 1 = 78^2
Tu solución se ve muy bien.
- Punto 1:
Según entiendo, afrirmas que $pqr +1 = x^2$ entonces que $p,q$ y $r$ deberán ser de la forma $4k-1$. Si bien es cierto, que con esa forma es suficiente, no es cierto que sea la única alternativa. Pues dos de ellos podrían ser de la forma 4k+1 y solo uno de la forma 4k-1; por ejemplo $3 \times 5\times 13 +1 =14^2$, sólo 3 es de la forma $4k-1$
- Punto 2:
Muy buena observación. Es cierto que si $25pq + r = 2004$, entonces usando módulo 5 obtenemos que $r \equiv 4 \pmod{5}$. Es decir, $r$ terminará en $4$ o $9$, pero como $r$ es impar deberá terminar en 9.
- Punto 3:
Bueno, esa serían todas mis observaciones. Pero insisto, me agrada la idea propuesta en el punto 3, pues reduce el problema un número finito de casos con un argumento muy sencillo. Pero lamentablemente, son varios casos, sobre todo si no corregimos el punto 1. SaludosAquí me costó trabajo entender, pero veo con bueno ojos tu camino de acotar las posibilidades para $p$ y $q$. Entiendo pues que como $25pq+r = 2004$ y entonces $25pq \leq 2000 = 25*80$ en consecuencia $pq \leq 80$. De aquí me parece claro que el producto de los primos pequeños ($p$ y $q$) debe ser menor que 80. ¿Pero qué significa girar alrededor de 9?
Tal vez te refieres a que $\sqrt{pq} \leq \sqrt{80} < 9$. Por lo que el factor más pequeño debe ser menor que 9, en este caso como $p \leq q$, entonces $p$ sólo puede ser primo menor que 9. Es decir, $p=3, 5, 7$. Pero en cada caso $q$ qeda delimitado por varias opciones, $q \leq 80/3 < 26$ si $p=3$. Lo que da varias opciones para $q = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23$. ¿Cómo te deshaces de esas posibilidades? Sobre todo ahora sabiendo que no es necesario que $p$ y $q$ sean de la forma $4k-1$.
Aún con la condición $4k-1$ tengo dudas. Con dicha condición el caso $p=5$ desaparece. ¿Pero qué pasa con el caso $p=3$? Los valores posibles para $q$ de la forma $4k-1$ en el caso $p=3$ serían $p=7, 11, 19, 23$, todos ellos tienen la condición $pq < 80$. ¿Cómo te deshaces de ellos? ¿A mano? El caso $p=7$ veo que sería el más sencillo, pues aquí $q< 80/11 < 12$, además $q>7$ por lo que sólo quedaría $q =11$, de hecho no necesitarías la condición $4k-1$.