P4 OMM 1992. Suma de potencias múltiplo de 100

(Solución de Bernardo Tovías)

$1+11^{11}+111^{111}+...+1111111111^{1111111111} $

$\equiv 1+11^{11}+11^{111}+...+11^{1111111111} \pmod{100}$

(ya que las terminaciones de todos, a excepción del 1, es 11, es decir, todos las bases son congruentes con 11 módulo 100).

Ahora buscamos el 1:

$11^0 \equiv 1 \pmod{100}$
$11^2 \equiv 21 \pmod{100}$
$11^3 \equiv 31 \pmod{100}$
$11^4 \equiv 41 \pmod{100}$
$11^5 \equiv 51 \pmod{100}$
$11^6 \equiv 61 \pmod{100}$
$11^7 \equiv 71 \pmod{100}$
$11^8 \equiv 81 \pmod{100}$
$11^9 \equiv 91 \pmod{100}$
$11^{10} \equiv 1 \pmod{100}$

Ahora bien, como todos las congruencias están elevadas a un número de la forma $10k+1$ con $k\in\{0,1,11,111,...,111111111\}$,entonces todas van a ser de la forma:

$$11\cdot(11^{10})^k} \equiv {11} \pmod{100}$$

De aqui que

$$1+11+11+11+...+11= 1+9(11)=100 \equiv 0 \pmod{100}$$

Por lo que esa suma es multiplo de 100.