Problema 5 (Ciudades, OMM_Tam_2010)

Los 3 dígitos tienen que ser todos pares o bien dos impares y uno par.
Vamos a usar un argumento de clasificación. Los números requeridos son de dos clases: empieza con impar o empieza con par. En la primera clase (digamos, la clase I) hay 5 subclases, dependiendo de cuál impar inicia (1,3,5,7,9). En la segunda clase (digamos, la clase P) hay 4 subclases, dependiendo de cuál par inicia (2,4,6,8).

En cada una de las subclases de la clase I, el otro impar puede ser cualquiera de los 4 restantes, y se puede colocar en la segunda o en la tercera posición. En total son 8 formas de elegir y colocar el otro impar. El dígito par puede ser cualquiera de los 4, y se coloca en el lugar que queda. Por tanto, cada subclase de I tiene 8(4)=32 elementos. Se concluye que la clase I tiene 160 elementos.

Las subclases de P pueden ser de dos tipos: los siguientes dos dígitos o bien son ambos pares o bien son ambos impares. Si los dos dígitos que faltan son pares entonces son 6 números; y si son impares entonces son 20. En resumen, cada subclase de P tiene 26 elementos. Pero son 4. Por tanto, la clase P tiene 26(4)=104 elementos.

La respuesta es entonces que hay 160+104=264 números de tres cifras que suman par.