Sea $p$ un número primo. Un conjunto $S$ de cardinalidad $ n $ se particiona de la siguiente manera: al primer subconjunto ($P_1$) se le asignan los primeros $p$ elementos de $S$ y los $(n-p)/p$ siguientes (después de eliminar los primeros $p$); si el conjunto remanente es $S'$ y $m$ es su cardinalidad, entonces a $P_2$ se le asignan los primeros $2p$ elementos de $S'$ más los $(m-p)/p$ siguientes, etc. (En general, a $P_i$ se asignan $ip$ elementos y la p-ésima parte de los elementos aún no repartidos.) El proceso termina cuando se asignan los últimos elementos de $S$ al último subconjunto de la partición. Encontrar los posibles valores de $ n $ (en términos de $p$) si todos los subconjuntos de la partición tienen la misma cardinalidad.
Para p=5, y con un contexto
Para p=5, y con un contexto de reparto de avellanas, este problema se aplicó a los adolescentes participantes en el concurso de la ONMAS Tamaulipeca 2009. (El problema pertenece, de hecho, a un concurso español: ver http://mimosa.pntic.mec.es/jcolon/fpdoce19.html [1]). Lo he generalizado aquí, para convertirlo en un problema de números de nivel intermedio y sea así interesante para otras audiencias. Para éstas va el siguiente ejercicio: ¿p tiene que ser primo? (discutir).
PD: las gracias le sean dadas a Sadhi por la comunicación y le deseamos gran inspiración en el concurso nacional de la ONMAS... y también esperamos que quede en la preselección de la OMM tamaulipeca 2009 (por lo pronto ya está en la selección Reynosa).
Me acaban de enviar el examen
Me acaban de enviar el examen de la ONMAS tamaulipeca 2009 y la verdad es que estuvo muy groovy. Para este problema (con p=5), la solución oficial que se da es 4 y 20, lo cual es inexacto (debe ser 1 y 5 o 4 y 20).
Chéquenlo:
Problema 5 (1º y 3º de sec.)
Una señora distribuye entre sus hijos cierto número de avellanas. Al primero le da 5 avellanas y 1/5 del resto; al segundo, 10 avellanas más 1/5 del resto; al tercero, 15 avellanas más 1/5 del resto, y así sucesivamente. ¿Cuál era el número de hijos y cuántas avellanas tocaron a cada uno, si todos recibieron el mismo número de avellanas?
Solucion 5
R= 4 y 20
Los saluda