Un sistema diofantino irracional

 Primero observemos que al elevar al cuadrado la primera ecuación se obtiene $2xy=a^{2n}-a^m$ –sustituyendo en la expresión resultante el lado derecho de la segunda. Y como queremos x, y enteros positivos, se sigue que $2n>m$. Y no parece que se pueda obtener mayor información de aquí.

Exploremos entonces otra sustitución: despejamos$ y $ de la primera ecuación y sustituyamos en la segunda para obtener una ecuación cuadrática.

$a^m=(a^n-x)^2+x^2=a^{2n}-2a^nx+x^2+x^2$

Se llega a la cuadrática $2x^2-2a^n+a^{2n}-a^m=0$. Y como $ x $ debe ser un entero positivo, el discriminante debe ser un cuadrado perfecto:

$z^2=2a^m-a^{2n}$

Pero como $2n>m$, entonces existe un entero $ k $ positivo tal que$ m+k=2n$. Esto nos permite poner el discriminante como

$z^2=2a^m-a^{m+k}=a^m(2-a^k)$

Y como un cuadrado perfecto es no negativo (una trivialidad que necesita práctica para verla en el contexto de un problema), entonces $a=2$ y $k =1$. Y con esto, el discriminante es cuadrado perfecto para cualquier $ m $. (Pregunta clásica de novicio: ¿el $ 0 $ es cuadrado perfecto?)

En resumen, $a=2, m=2n-1$, con $ n $ irrestricta, el discriminante es cero y la solución de la cuadrática es $x=2^{n-1}$. Por tanto, $y=2^n-2^{n-1}$. Es decir, la respuesta es: todas las parejas de la forma $(2^{n-1},2^n-2^{n-1})$ con $ n $ entero positivo.