Notemos que $n = d(n)(d(n) -1)$, sustituyendo $m=d(n)$ obtenemos que $n = m(m-1)$ y por lo tanto $m =d(m(m-1)) = d(m)d(m-1)$ (ya que $m$ y $m-1$ son primos relativos)
Ahora bien, consideremos la siguiente desigualdad: $$\frac{m}{d(m)^2} \cdot \frac{m-1}{d(m-1)^2} = \frac{m(m-1)}{m^2} < 1 \tag{1}\label{desg1}$$
La expresión de la izquierda se puede descomponer en factores de la forma $\frac{p^\alpha}{(\alpha +1)^2}$ con $p$ un primo factor de $m$ o $m-1$ y $\alpha$ el máximo exponente de $p$ que divide a $m(m-1)$.
En general, esos cociente son mayores a uno. Esto es, para $p \geq 5$ se tiene que: $\frac{p^\alpha}{(\alpha +1)^2} \geq 1$ para toda $\alpha \geq 0$. Y para los casos $p = 2, 3$ se tiene que: $$\frac{2^\alpha}{(\alpha +1)^2} \geq \frac{4}{9} \qquad \frac{3^\beta}{(\beta +1)^2} \geq \frac{3}{4} $$
Por lo tanto, el producto de estos cocientes resultará mayor o igual a 1/3. Es decir, $$\frac{m}{d(m)^2} \cdot \frac{m-1}{d(m-1)^2} \geq \frac{1}{3}$$
Ahora bien, supongamos que $m$ tiene un factor primo mayor a $5$, es decir, existe $q \geq 7$ primo tal que $q | m = d(m)d(m-1) = (\alpha_1 +1)(\alpha_2 +1) \cdots (\alpha_k +1) $. Por lo que debe existir $i$ tal que $q | (\alpha_i +1)$ y en consecuencia $\alpha_i \geq 6$. Sea $p_i$ el primo factor de $m(m-1)$ asociado al exponente $\alpha_i$.
Si $p_i \geq 3$, tendremos que $$\frac{p_i^{\alpha_i}}{(\alpha_i+1)^2}\geq \frac{p_i^6}{49} \geq \frac{3^6}{49} > 3$$ lo que implicará la siguiente contradicción a (\ref{desg1}): $$\frac{m}{d(m)^2} \cdot \frac{m-1}{d(m-1)^2} > 1$$
Por lo tanto, $p_i = 2$. Recordemos que $\frac{p^\alpha}{(\alpha +1)^2} \geq 1$ para todo $p$ y para los caso $p = 2, 3, q$ podemos poner otras desigualdades ya que sabemos que el exponente del $2$ mayor o igual a $6$ y el de $q \geq 7$ es al menos 1: $$\frac{m}{d(m)^2} \cdot \frac{m-1}{d(m-1)^2} \geq \frac{2^6}{7^2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{4} = \frac{12}{7} > 1$$ contradiciendo nuevamente \ref{desg1}.
Por lo anterior, obtenemos que $m$ sólo puede tener como factores primos a 2, 3 o 5. Con un análisis similar al anterior, podemos descartar la posibilidad de que $m$ sea divisible entre 25. Esto sería algo así; deberá existir un primo mayor o igual a 3 cuyo exponente es mayor o igual 4; o bien, habrá el factor 2 tendrá con un exponente superior o iugal a 24. En ambos casos se llega a contradicir la desigualdad \ref{desg1}.
Por lo tanto, $m = 2^\alpha \cdot 3^\beta$ o bien, $2^\alpha \cdot 3^\beta \cdot 5$.
CONTINUARÁ ....
si se deve encontrar todos
si se deve encontrar todos los enteros positivos n ales que n+d(n)=d(n)^2
eso significa que es un numero sumado por la multiplicacion de ese mismo numero multiplicado por otro es igual al cuadrado de el primer numero por el otro.
por tanto el unico numero que sumado por si mismo es igual a su cuadrado es el 2 (n+n).
y como 2 es n quedaria que 2+d(2)=d(2)^2.
se pasa el (2) que esta multiplicando como dividiendo:2 2+d=d(2)^2/2.y se restan los exponentes, seria igual a 2+d=d(2)
y como d son los divisores de 2 tambien es igual a 2 ya que sus divisores son el 1 y 2. por tanto 2+2=2(2) y seria igual a 4.
por tanto el unico numero que cumple es el 2.
si estoy mal avisen porfavor ya que no soy muy bueno en numeros.
Hola Edson, el problema tiene
Hola Edson, el problema tiene 4 soluciones distintas el 2, 56, 132 y 1260. Únicamente encontraste una, por lo que debe haber algún error en tus argumentos.
Yo veo varios errores, pero te comento cuál creo que es el problema principal con tus argumentos. Y creo que es con el significado de $d(n)$.
Me da la impresión que has entendido que $d(n)$ significa lo mismo que $d \times n$. Pero el significado correcto es de función [3], o sea, que tienes que entender $d$ como un mapeo que para cada número $n$ del conjunto de los enteros positivos $\{1, 2, 3, 4, \dots \}$ tiene asociado un valor al cuál se le denota con $d(n)$, y ese valor es precisamente la cantidad de divisores de $n$.
La siguiente tabla presenta el valor de $d(n)$ para $n=1, 2, 3, 6$ y $8$.
(Número de divisores de $n$)
Para conocer más sobre esta función puedes leer sobre números de divisores [4] aquí en MaTeTaM.
Te recomiendo empezar por verificar que efectivamente 2, 56, 132 y 1260 son solución. Tendrás que calcular $d(2), d(56), d(132)$ y $d(1260)$.
Como ya habías comentado, $n=2$ es solución, pero no por las razones que explicas. Si no por que $d(2) = 2$. Sustituyendo en la ecuación $n + d(n) = d(n)^2$ se observa que efectivamente se satisface $2 + 2 = 2^2$.
El caso de $n=6$ NO satisface ya que $d(6) = 4$ y sustituyendo llegamos a que $6 + 4 \not = 4^2$.
muchas gracias exactamente
muchas gracias exactamente asi pensava que d(n) era multiplicacion pero gracias por aclararlo. empezare a practicar mas eso.