Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$
Sean $x, y, z$ tres números reales tales que $0 < x < y < z < \pi/2$. Demostrar la desigualdad:
$$\pi/2 + 2\sin x\cos y + 2\sin y \cos z\gt \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z$$
Enlaces:
[1] http://www.matetam.com/problemas/algebra/desigualdad-jensen
[2] https://www.matetam.com/print/problemas/trigonometr/desigualdad-trigonom-trica#comment-3020
[3] https://www.matetam.com/problemas/trigonometria
[4] https://www.matetam.com/categoria/nivel/avanzado
[5] https://www.matetam.com/problemas/categoria/olimpiada-iberoamericana-matematicas/iv-oim-1989
Hola amigos he intentado de
Debo admitir que al principio
Debo admitir que al principio no tenía idea de cómo hacer este problema, lo primero que pensé fué Jensen (Desigualdad de Jensen [1]) pero no me salió nada interesante, sobre todo me quedaba la duda ... ¿cómo voy a sacar el $\pi/2$ ?
Así que vine con la idea de áreas. Esto es, tratar de acomodar las expresiones en senos y cosenos del lado derecho de la desigualdad. Después reducir la expresión derecha y posteriormente asociar a dicha expresión con el área de una figura plana. Si lograse acomodar la figura dentro de medio círculo de radio uno ya tendría la desigualdad; pues el área de medio círculo es $\pi/2$
Y sí pude, te mando la figura resultante.
Saludos
Hola Jesús, Que padre esa [2]
Hola Jesús,
Que padre esa idea de relacionarlo con el área de una figura conocida, ya con eso salia el problema, creo que a mí, no se me ubiera ocurrido ir por ahi.
Saludos.