En este post comento dos problemas de velocidad ya en la sección de problemas de MaTeTaM. Le dedico más tiempo al más difícil, tratando de destacar la lógica de su solución. Al final presento un mapa conceptual del razonamiento y la simbolización del difícil, el cual parecería le da más estructura al proceso de resolución.
Introducción (y origen de los problemas)
Hace algunos días, dos profes de secundaria me preguntaron sobre la solución de un problema de velocidades que no habían podido resolver. Es el problema Velocidad de un tren en la sección de problemas de MaTeTaM. Mi lectura de la consulta de los profesores fue: "¡qué bueno que estos profes se interesan en resolver un problema de velocidades!", (Un interés natural en un mundo normal, es la excepción agradablemente sorprendente en el mundo bizarro de la educación mexicana --ni bueno ni malo, es simplemente un fenómeno que ya es parte del paisaje mexicano.)
El problema de la velocidad de un tren no es realmente difícil. Tiene cierta dificultad pero no demasiada (creo que lo catalogué como fácil). Pero como todo profesor de matemáticas escolares sabe (o debería saber), los problemas de velocidad presentan para los alumnos (y para algunos profesores) dificultades casi insalvables. (La investigación de las razones --o causas-- de este fenómeno muy bien podría ser tema de una tesis doctoral en Educación Matemática.)
El segundo problema que pretendo discutir en este post está también incluído en la sección de problemas de MaTeTaM. (ver Un problema de velocidades realmente difícil). Éste lo encontré en el libro Problemas de Matemáticas Elementales (Lidski, V. et al, Editorial MIR: Moscú).
De paso diré que el libro es inconseguible desde hace años en librerías. La copia que tengo lo compré en una librería de usados en el DF hace años (a 50 pesos). Posiblemente se pueda encontrar en bibliotecas con un interés especial en matemáticas (alguna universidad con facultad de matemáticas, por ejemplo).
(Digo, porque mi copia, incidentalmente, tiene el sello de una biblioteca universitaria --no diré cuál-- con fecha de ingreso de 1981. La lectura de este sello y su signatura (el código de su lugar en la estantería) es que el libro se lo robó un estudiante de matemáticas de esa universidad y después --a través de una trayectoria desconocida-- fue vendido a la librería de usados. Esta lectura da cuenta de un acto ilegal, pero les prometo --como dijo la chica fresa española-- que yo lo compré de manera legítima.)
La dificultad de esos dos problemas (aunque dispareja, pues uno es fácil pero no tanto y el otro difícil pero sin llegar a ser extraordinariamente difícil) me hace pensar que no es un ejercicio necesariamente inútil (para quienes se interesan en las matemáticas escolares) el discutir en este post dos problemas de velocidad.
El problema Velocidad de un tren
Un tren es obligado a detenerse 16 minutos más de lo programado en una estación. Para recuperar el tiempo perdido, en los siguientes 80 km viaja a una velocidad 10 km/h más rápido que lo normal. Calcular la velocidad normal del tren.
Discusión
El elemento disruptor en este problema es el retraso en el tiempo programado. Por fuera del enunciado (aunque se dice al final de éste) se debe suponer que los trenes viajan a una misma velocidad constante siempre (a menos que, como en este caso, tengan un retraso). Se entiende entonces que hay una velocidad normal $v$ y una velocidad de recuperación del tiempo perdido $v+10$. Y, bueno, lo que sigue es modelar con las fórmulas de velocidad (así se les dice en la escuela pero la verdad es que sólo hay una: v=d/t).
Un problema de velocidades realmente difícil
Un tren de pasajeros parte de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas. Después de 6 horas de viaje, el tren se detiene debido a la acumulación de nieve en la vía. Después de 2 horas, el tren prosigue su viaje hacia la estación $B$, pero ahora con una velocidad 20 por ciento mayor que la que mantuvo antes (la velocidad normal). Aún así, llegó a la estación $B$ con una hora de retraso. Al día siguiente, otro tren sale de la estación $A$ hacia la $B$ a las 13 horas y también tuvo que parar durante 2 horas, pero en un punto alejado de $A$ 150 km más que donde se paró el primer tren. El resto del trayecto, el tren lo recorrió a una velocidad 20 por ciento mayor que normal mantenida antes. Aún así solamente recuperó media hora del tiempo perdido. ¿Cuál es la distancia entre $A$ y $B$?
Discusión y otras soluciones
Como se puede ver en la solución MaTeTaM del problema, ni siquiera la modelación algebraica del problema es fácil. A continuación presento dos soluciones alternativas.
Solución sincopada
a) Primero hay que ver que la longitud del primer tramo (recorrido por el primer tren) es 6 veces la velocidad normal. Pero 6=5(1.2). Y se concluye que si el primer tren lo hubiese recorrido a una velocidad 20 porciento mayor que la normal $v$ (es decir, a $1.2v$), entonces habría tardado 5 horas y no 6.
b)Pero en el segundo tramo también se ahorraría una hora. Es decir, del dato que después de la parada de 2 horas el tren recupera sólo una hora a una velocidad 20 por ciento mayor que la normal, se concluye que todo el recorrido $AB$ se haría en dos horas menos si se mantuviera la velocidad $1.2v$
c)De aquí que $AB=(T-2)AP/5$ --llamando $P$ al punto en que el tren se para durante 2 horas y $T$ al tiempo normal de recorrido desde $A$ hasta $B$.
d) Pero también $AB=T(AP/6)$.
e) De aquí que $(T-2)AP/5=T(AP/6)$
f) Así que cancelando $AP$ y simplificando, se obtiene que $T=12$. Se concluye que $AP=PB$.
g) Finalmente, el segundo tren se ahorra media hora de $P$ a $B$ a una velocidad $1.2v$. Y comparando este ahorro con el del primer tren (una hora), se concluye que 150 km es la mitad del recorrido $PB$. Es decir, $PB=300$ y $AB=600$.
Solución retórica
Sea $P$ el punto en que el primer tren se detiene 2 horas y $v$ la velocidad normal. De los datos se tiene que a una velocidad de $1.2v$, $PB$ se recorre en una hora menos que a velocidad $v$ y que $PB-150$ se recorre en media hora menos que a velocidad $v$. Por tanto, 150 es la mitad de $PB$. Es decir, $PB=300$. Pero también se tiene que $AP=6v=5(1.2v)$. De aquí que $AP$ se recorre en 5 horas a la velocidad $1.2v$. Es decir, en una hora menos que a la velocidad normal $v$. De lo anterior se concluye que $AP=PB$ y que $AB=600$.
Nota: Intuitivamente, se siente que el ahorro en tiempo al recorrer una misma distancia a una velocidad mayor que la normal es proporcional a la distancia recorrida. Y es cierto: $a=d/v-d/(kv)=(k-1)d/(kv)$. Este hecho es el que autoriza la conclusión "mismo ahorro, misma distancia". Pues al igualar las $a$ se obtiene $a=(k-1)d/(kv)=(k-1)d'/(kv)$ y queda $d=d'$.
Los saluda
jmd
PD: Posiblemente el siguiente mapa conceptual ayude a la comprensión
Todos los libros de la
Todos los libros de la editorial MIR los puede descargar gratis en PDF de http://www.elibros.cl/matematicas.php
Cierto, Rell. Ya lo
Cierto, Rell. Ya lo verifiqué. El Lidski viene en dos partes comprimidas en .zip y sí es gratuito. Muy buena tu información para todos los interesados en las matemáticas escolares (y más allá). Las gracias te sean dadas. (Y a elibros.cl por subir a la Web tantos libros --son 184 de la MIR.)
Te saluda
jmd
Por nada, es sólo mi pequeña