Por M tracemos una paralela a CA, y sea D su punto de intersección con el cateto BC. Puesto que DM es paralela a CA y CA es perpendicular a BC, entonces DM es también perpendicular a BC. Por el teorema de la línea media se sabe que D es punto medio de BC. Pero entonces DM es mediatriz de BCM. De aquí que BM=CM (pues la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos).
(Alternativamente, se puede ver que los triángulos rectángulos BDM y CDM tienen los catetos correspondientemente iguales y entonces son congruentes por el criterio LAL. De aquí que BM=CM.)
Una tercera demostración de logra observando que M es el circuncentro del triángulo ABC.
Pues por analitica ( algo que
Pues por analitica ( algo que se ve en preparatoria ) tenemos la siguiente figura:
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Tenemos que: AD =
Tenemos que:
AD = $\root {} \of {(b/2-0)^2+(a/2-a)^2}$ = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$
DB= $\root {} \of {(b/2-b)^2+(a/2-0)^2}$ = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$
CD= $\root {} \of {(b/2-0)^2+(a/2-0)^2}$ = $\root {} \of {(b^2/4 + a^2/4)}$
de aqui que la distancia del punto D a los vertices A,B,C es la misma
Saludos!
Aaaaaaaaalright
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Otra posible demostración es
Otra posible demostración es utilizar el teorema de apolonio para calcular la longitud de la mediana (del dibujo de casanova) $CD$ = $ \frac{\sqrt{2a^2 +2b^2 - c^2}}{2}$, y puesto que el triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de pitagoras se tiene que $CD$ =$ \frac{c}{2}$,
además $AD = DB =\frac{c}{2}$ por ser $D$ punto medio de $AB$