Retroducción en un problema de números

De “A: No puedo saber cuáles son los números x, y” se puede inferir que el número a no tiene una descomposición única como producto de dos factores (en cuyo caso, éstos serían primos). Ejemplos en que A sí podría determinar unívocamente x, y: a = 21, a = 55.

Nótese la inferencia retro: si x, y ambos primos entonces a tendría factorización xy única y, en consecuencia, A podría determinar unívocamente los números x, y. Pero éste no es el caso. Por tanto, x, y no son ambos primos.

Otra forma en que A podría determinar x, y a partir de su producto sería (usando el dato x+y<100) cuando uno de los factores de a fuera el primo 53 o uno mayor. Porque, en ese caso, a = 53q, dado que un x mayor tendría que ser 106 o mayor violando la condición de que la suma x + y < 100.

En resumen, de la primera declaración de A, se deduce quea no es producto de dos primos y ninguno de sus factores es 53 o un primo mayor.

De “B: Eso yo ya lo sabía” (suponiendo honestidad) se infiere que la información que sabe A (resumida en el párrafo anterior) también la sabe B. Pero ¿cómo la pudo saber a partir de su número b = x +y?

Para responder a esta pregunta usemos inferencia en retro:

Si x, y fuesen ambos primos impares entonces su suma x +y = b sería par y, con b par, B no podría saber lo que dijo saber. Por lo tanto debe tener a la vista un número b impar y no expresable como 2 + primo impar.

Por otro lado, B también sabe que a no puede expresarse como p(a/p), con p primo 53 o mayor. Y esto sólo lo pudo saber si b = x + y < 53.

En resumen, las posibilidades para el número b son los impares menores que 53 y no expresables como 2 + primo impar –y esto lo acabaría de saber A con la respuesta de B. (Nótese la reducción del tamaño del espacio de búsqueda a través de un descarte de posibilidades.) Haciendo la lista de los impares menores que 53 y tachando los expresables como 2 + p se obtiene una lista de posibilidades para b.

¿Cómo puede concluir A, con esta información, los valores de x, y? La única posibilidad de lograrlo es que a tenga una factorización única par(impar). Y esto sólo es posible si todos los factores 2 de a se “cargan” a la x (x = 2^k) quedando, después de la factorización, un primo impar para y. Es decir, a = (2^k)p. Por ejemplo, a = 24 = 8(3) o a = 28 = 4(7); pero habría indecisión si a = 30 = 2(15) = 6(5).

Por último, la información que obtiene B de la segunda intervención de A (y que lo hace decir “en ese caso yo también sé cuáles son”) es precisamente la que acabamos de inferir nosotros: que a tiene factorización única (par)(impar). Pero además, el número b que B tiene a la vista se tiene que descomponer de una sola forma en suma de una potencia de 2 y un primo impar. Ejemplo: se puede descartar b = 11 = 4 + 7 = 8 + 3 pero no el 17 = 4 + 13.

El lector debería comprobar que las posibilidades para a, b son (52, 17), (208, 29), (148, 41) y (592, 53). Para ello debe construir dos cribas: una a partir de la lista de impares hasta el 53 y tachando los expresables como 2 más primo impar; la otra con los números que queden de ese primer cribado y tachando los expresables en más de una forma como potencia de 2 más primo.

Epílogo: Me queda, sin embargo una duda. Haciendo un análisis muy condensado, el texto referido arriba concluye: “por la comprobación inmediata nos convencemos de que la única solución la dan los números 4 y 13.” ¿Estoy mal? ¿Se me pasó analizar algún detalle?