Demostrar [paridad]

Tal vez hay cosas que no entiendo del problema, pero mira está figura y dime en qué estoy mal.

Las varillas son los segmentos negros y los puntos gordos son los puntos de soldadura, los puntos suspensivos sólo indican que la construcción se repite varias veces.  La línea roja pasa por todas la varillas y sin pasar por ninguno de los puntos de soldadura.

 Bueno, eso es lo que se me ocurrió a mí, pero en tal caso el problema no tiene sentido, ya que hay que demostrar que la línea no existe, pero se demuestra que sí existe. En otras respuestas que recibí, decía que al soldarse los segmentos se forma un polígono cerrado, y a partir de ahí se identifica una zona externa y una interna, pero no entendí bien la respuesta, entonces lo publiqué acá al problema, pensando que tal vez me aclaraban mejor la resolución. Por las dudas el problema está sacado de acá:

www.openmathtext.org/lecture_notes/acad.pdf

En la página 6, la sección Tarea, el problema número 34.

Ohhh!! Ahora me hace mucho sentido. Entonces yo creo que el problema está mal redactado, debería decir que las varillas forman un camino cerrado o un circuito.

Y bueno, si es un camino cerrado pues efectivamente habrá dos regiones: la interna será la región del plano acotada por el camino cerrado y la externa es el complemento. En la figura se ve más claro:

Como se puede observar, en este contexto, las varillas y soldaduras simplemente son representaciones cotidianas de lados y vértices de un polígono.

 Gracias, ahí entendí lo de las regiones, pero cual sería la solución del problema entonces?

Pues la solución es muy sencilla, consideremos una recta $\ell$ que corta las varillas pero no toca ninguna soldadura. Luego imaginemos que nos movernos de un extremo de $\ell$ (casi al infinito) al otro. Entonces, al pasar por los puntos de corte de las varillas cambiaremos de estar en la región interna a la externa, o viceversa. 

En la figura, empezaremos en la región blanca y después de la primera varilla pasaremos a la verde, y depués de la segunda varilla pasaramos a la blanca y así sucesivamente; formando el patrón Blanco | Verde | Blanco | Verde | ....

Como al final la recta se irá el infinto, la recta debe terminar en la región blanca, por lo que el  patrón anterior debe terminar en Blanco. Esto se traduce a que la recta sólo puede cortar un número par de varillas.

Espero y esté claro, no dudes en preguntar.

Saludos

 Perfecto!! Entendí todo!! Muchas gracias!